一道积分题:∫1/(1+x^2)^2 dx如果把括号外面的平方换成三次方四次方呢

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 22:26:34
一道积分题:∫1/(1+x^2)^2 dx如果把括号外面的平方换成三次方四次方呢

一道积分题:∫1/(1+x^2)^2 dx如果把括号外面的平方换成三次方四次方呢
一道积分题:∫1/(1+x^2)^2 dx
如果把括号外面的平方换成三次方四次方呢

一道积分题:∫1/(1+x^2)^2 dx如果把括号外面的平方换成三次方四次方呢
记In＝∫1/(1+x^2)^n dx
那么In= ∫1/(1+x^2)^n dx=x/(1+x^2)^n-∫xd(1/(1+x^2)^n)
=x/(1+x^2)^n+2n∫x^2/(1+x^2)^(n+1)dx
=x/(1+x^2)^n+2n∫1/(1+x^2)^ndx-2n∫1/(1+x^2)^(n+1)dx
=x/(1+x^2)^n+2n*In－2nIn+1
最终有
In+1=(2n-1)/2n*In+1/2n*x/(1+x^2)^n
显然I1＝arctan(x)+c
那么I2＝1/2*[x/(1+x^2)+arctan(x)]+c

记In＝∫1/(1+x^2)^n dx
那么In= ∫1/(1+x^2)^n dx=x/(1+x^2)^n-∫xd(1/(1+x^2)^n)
=x/(1+x^2)^n+2n∫x^2/(1+x^2)^(n+1)dx
=x/(1+x^2)^n+2n∫1/(1+x^2)^ndx-2n∫1/(1+x^2)^(n+1)dx
=x/(1+x^2)^n+2n*In－2nI...

全部展开

记In＝∫1/(1+x^2)^n dx
那么In= ∫1/(1+x^2)^n dx=x/(1+x^2)^n-∫xd(1/(1+x^2)^n)
=x/(1+x^2)^n+2n∫x^2/(1+x^2)^(n+1)dx
=x/(1+x^2)^n+2n∫1/(1+x^2)^ndx-2n∫1/(1+x^2)^(n+1)dx
=x/(1+x^2)^n+2n*In－2nIn+1
最终有
In+1=(2n-1)/2n*In+1/2n*x/(1+x^2)^n
显然I1＝arctan(x)+c
那么I2＝1/2*(x/(1+x^2)+arctan(x))+c
其余可以利用递推公式依次计算。

收起

一道高数定积分小题∫ d（x） / 1+ √（2x） 一道定积分小题∫√(2x-x2)dx 积分区间是0-1 一道求积分题不定积分 arctanx/(1+x^2) 一道定积分题∫（-1,到,1） sin(x^3)/(1+x^2)dx 积分题一道：∫xln(x-1)/（x^2-1） dx 一道积分题∫x^3√(1-x^2)dx ∫(正无穷,1）arctanx/x^2dx这是一道定积分题.括号里是积分范围 一道简单积分题f(x)=(x+1)/（x^2+9）求积分F(x) 帮我解一道积分题∫[θ(1+cosθ)]^2 dθ=?谢 帮我解一道积分题∫[θ(1+cosθ)]^2 dθ=? 一道积分题 ∫1/(x+x^1/3)dx 求解一道积分题:∫ x^2×根号x×dx 求定积分,求定积分还有一道题.设f(x)的原函数是sin^2x,求1、f(x) 2、∫f(x)dx 求解一道积分x^2/(e^x+1)(e^-x+1)从-∞积分到+∞ 定积分的一道问题,积分号 1到0 根号（2x-x^2） 一道简单的求积分题~∫（2x+1/x²+2x+2）dx 求解一道高数重积分填空题,积分∫（0,a)dx∫（a-x,(a^2-x^2)^1/2)f(x,y)dy在极坐标下的累次积分为__________.∫（0,π/2)dθ∫（2cosθ,2)f(rcosθ,rsinθ)rdr.请写出解题步骤,是不是答案错了？这答案怎么得出 高数一道积分题目x^3*根号（2+x^2)积分,x从0到1