作业帮x^2+y^2+z^2=1,xy+xz+yz的取值范围不要用向量
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 05:26:07
x^2+y^2+z^2=1,xy+xz+yz的取值范围不要用向量
x^2+y^2+z^2=1,xy+xz+yz的取值范围
不要用向量
x^2+y^2+z^2=1,xy+xz+yz的取值范围不要用向量
额.这不用那么麻烦.
设xy+xz+yz=B
x^2+y^2+z^2=A
则A+2B=(x+y+z)^2>=0
A-B=1/2[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]>=0
由此可推出：B∈[-1/2,1]
xy+xz+yz=[(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)]/2=[(x+y+z)^2-1]/2
只要求得x+y+z的取值范围。
设x+y+z=t,这是一个在x轴，y轴，z轴上的截距为t的平面。
又x^2+y^2+z^2=1为一个半径为1的球面。
所以问题转化为平面x+y+z=t在与球面x^2+y^2+z^2=1有交点的情况下，其截距的取值范围。
通...
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xy+xz+yz=[(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)]/2=[(x+y+z)^2-1]/2
只要求得x+y+z的取值范围。
设x+y+z=t,这是一个在x轴，y轴，z轴上的截距为t的平面。
又x^2+y^2+z^2=1为一个半径为1的球面。
所以问题转化为平面x+y+z=t在与球面x^2+y^2+z^2=1有交点的情况下，其截距的取值范围。
通过数形结合法，很容易看出，当平面x+y+z=t与球面相切时，平面的截距可以取到最大值和最小值。
又从零点到切点的向量为｛x,y,z｝,显然其与平面的法向量是平行的,又平面的法向量为{1,1,1},故
x=y=z，所以x=y=z=(√3)/3或-(√3)/3.
所以x+y+z的取值范围为[-√3,√3]
所以(x+y+z)^2 的取值范围是[0,3]
所以xy+xz+yz的取值范围是[-0.5,1]
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