作业帮如图,等边三角形ABC中,点D、E、F分别在边BC、CA、AB上,且BD＝2DC,BE＝2EC,CF＝2FA,AD与BE相交于点P,BE与CF相交于点Q,CF与AD相交于点R,则AP :PR :RD＝_______．若△ABC的面积为1,则△PQR的面积为______．
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 12:02:59
如图,等边三角形ABC中,点D、E、F分别在边BC、CA、AB上,且BD＝2DC,BE＝2EC,CF＝2FA,AD与BE相交于点P,BE与CF相交于点Q,CF与AD相交于点R,则AP :PR :RD＝_______．若△ABC的面积为1,则△PQR的面积为______．
如图,等边三角形ABC中,点D、E、F分别在边BC、CA、AB上,且BD＝2DC,BE＝2EC,CF＝2FA,AD与BE相交于点P,BE与CF相交于点Q,CF与AD相交于点R,则AP :PR :RD＝_______．若△ABC的面积为1,则△PQR的面积为______．
如图,等边三角形ABC中,点D、E、F分别在边BC、CA、AB上,且BD＝2DC,BE＝2EC,CF＝2FA,AD与BE相交于点P,BE与CF相交于点Q,CF与AD相交于点R,则AP :PR :RD＝_______．若△ABC的面积为1,则△PQR的面积为______．
应该是：BD＝2DC,CE＝2AE,AF＝2BF.
显然,图中有好几组三个一组的全等三角形,这里不再详细证明.
过点E作EM平行于BC,交AD于M,作EN平行于AB,交CF于N.则有：
△AME与△ADC相似,EM/DC=AE/AC=1/3,
△EMP与△BDP相似,EP/PB=EM/BD=EM/2DC=1/6,EP=1/7EB.
△CEN与△CAF相似,EN/AF=CE/CA=2/3,
△ENQ与△BFQ相似,EQ/QB=EN/BF=EN/（1/2AF）=4/3,QB=3/7EB.
所以AP：PR：RD=BQ：QP：EP=3：3：1.
BD=2DC,得S（△ADC）=1/3S（△ABC）,
RD=1/7AD,得S（△CAR）=6/7S（△ADC）=2/7S（△ABC）=S（△ABP）=S（△BCQ）=2/7,
所以△PQR的面积为1-6/7=1/7.
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