作业帮如图在三角形ABC中,AC=AB,以AB为直径的圆O分别交AC,BC于点D,E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=1／2∠CAB（1）求证：直线BF是圆O的切线（2）若AB=5,sin∠CBF=√5／5.求BC和BF长
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 09:40:35
如图在三角形ABC中,AC=AB,以AB为直径的圆O分别交AC,BC于点D,E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=1／2∠CAB（1）求证：直线BF是圆O的切线（2）若AB=5,sin∠CBF=√5／5.求BC和BF长
如图在三角形ABC中,AC=AB,以AB为直径的圆O分别交AC,BC于点D,E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=1／2∠CAB
（1）求证：直线BF是圆O的切线
（2）若AB=5,sin∠CBF=√5／5.求BC和BF长
如图在三角形ABC中,AC=AB,以AB为直径的圆O分别交AC,BC于点D,E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=1／2∠CAB（1）求证：直线BF是圆O的切线（2）若AB=5,sin∠CBF=√5／5.求BC和BF长
（1）连接AE,利用直径所对的圆周角是直角,从而判定直角三角形,利用直角三角形两锐角相等得到直角,从而证明∠ABE=90°．
（2）利用已知条件证得∴△AGC∽△BFA,利用比例式求得线段的长即可．
（1）证明：连接AE,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,
∴∠1+∠2=90°．(∠1=∠EAB,．∠2=∠ABE)
∵AB=AC,
∴∠1= 1/2∠CAB．
∵∠CBF= 1/2∠CAB,
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直径,
∴直线BF是⊙O的切线．
过点C作CG⊥AB于点G．
∵sin∠CBF= √5/5,∠1=∠CBF,
∴sin∠1= √5/5
∵∠AEB=90°,AB=5,
∴BE=AB•sin∠1= √5,
∵AB=AC,∠AEB=90°,
∴BC=2BE=2 √5,
在Rt△ABE中,由勾股定理得AE=2√ 5,
∴sin∠2= 2√5/5,cos∠2= √5/5,
在Rt△CBG中,可求得GC=4,GB=2,
∴AG=3,
∵GC∥BF,
∴△AGC∽△ABF,
∴ GC/BF=AG/AB
∴BF= GC•AB/AG= 20/3