在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AD上一动点,PE⊥AC于点E,PF⊥BD于点F,当P点从A向D移动时,PE+PF的值是定值吗?并加以说明图已加入
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/06 09:44:56
在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AD上一动点,PE⊥AC于点E,PF⊥BD于点F,当P点从A向D移动时,PE+PF的值是定值吗?并加以说明图已加入
在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AD上一动点,PE⊥AC于点E,PF⊥BD于点F,当P点从A向D移动时,PE+PF的值是定值吗?并加以说明
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在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AD上一动点,PE⊥AC于点E,PF⊥BD于点F,当P点从A向D移动时,PE+PF的值是定值吗?并加以说明图已加入
最简略地想想,用面积法
设AC,BD交于M点,
连接PM,则三角形ADM的面积的2倍就是AM*PE+DM*PF,且是个定值,
又因为矩形性质,AM=DM,所以(PE+PF)*AM是个定值,AM是个定值,所以PE+PF是个定值.
设矩形对角线的交点为O,连接OP
因为AB=3,AD=4
所以AC=5
又OA=OD=1/2AC=2.5
所以三角形AOP的面积+三角形POD的面积
=三角形AOD的面积
1/2AO*5/2*PF+1/2OD*5/2*PE=1/4矩形面积
4/5(PE+PF)=3
所以PE+PF=12/5
所以是定值
作图,设AC和BD的交点为O,连接PO
S△ADO=S△PDO+S△PAO=1/2(PF*OD)+1/2(PE*AO)
S△ADO=1/4AD*BC=3
OD=OA=1/2*AC=5/2
∴3=1/2(PF*5/2)+1/2(PE*5/2)
PE+PF=12/5
PE+PF为定值。
是否有图?
PE/PF=AP/PD=AE/DF PE/AB=AE/BC=AP/AC
AC=BD=5
PE/3=AE/4=AP/5 AP+PD=4
由三角形相似可知
PE/AP=3/5 PE=3/5*AP
同理PF=3/5*PD
PE+PF=3/5*AP+3/5*PD=(AP+PD)*3/5=12/5