要做一个容积为 16π dm³的无盖圆柱形水箱,怎样设计尺寸才能使用料最省?

要做一个容积为 16π dm³的无盖圆柱形水箱,怎样设计尺寸才能使用料最省?
要做一个容积为 16π dm³的无盖圆柱形水箱,怎样设计尺寸才能使用料最省?

要做一个容积为 16π dm³的无盖圆柱形水箱,怎样设计尺寸才能使用料最省?
参阅插图.

由题意可得πr²*h=16 S=πr²+2πrh要最小 换成S有关于r的函数S=πr²+32/r 拆分成两部分
由于r>0,作图可得两条曲线，交点处，和最小，r等于32/3.14的立方根

设底面半径为r,高为h
那么由题意r2h＝16
很明显这个题目是求表面积最小值
表面积为2πrh+πr2
下面求这个公式的最小值
2πrh+πr的平方≥2π√2r的立方xh,当且仅当2πrh=πr2时等号成立
由r2h＝16和2πrh=πr2算出h=4的1/3次方,r=2x4的1/3次方
所以当h=4的1/3次方,r=2x4的1/3次方时最省...

全部展开

设底面半径为r,高为h
那么由题意r2h＝16
很明显这个题目是求表面积最小值
表面积为2πrh+πr2
下面求这个公式的最小值
2πrh+πr的平方≥2π√2r的立方xh,当且仅当2πrh=πr2时等号成立
由r2h＝16和2πrh=πr2算出h=4的1/3次方,r=2x4的1/3次方
所以当h=4的1/3次方,r=2x4的1/3次方时最省材料

收起