已知任意非零实数xy满足3x²+4xy≤λ(x²+y²)恒成立,求实数λ最小值

已知任意非零实数xy满足3x²+4xy≤λ(x²+y²)恒成立,求实数λ最小值
已知任意非零实数xy满足3x²+4xy≤λ(x²+y²)恒成立,求实数λ最小值

已知任意非零实数xy满足3x²+4xy≤λ(x²+y²)恒成立,求实数λ最小值
因x、y都不为0,则：
3x²＋4xy≤λ(x²＋y²),得：
λ≥(3x²＋4xy)/(x²＋y²)
设：t=x/y,且M=(3x²＋4xy)/(x²＋y²) 【分子分母同除以y²】
则：
M=(3t²＋4t)/(1＋t²)
=[(3t²＋3)＋(4t－3)]/(1＋t²)
=3＋(4t－3)/(1＋t²)
因λ只要大于等于M的最大值即可,则只需求出(4t－3)/(1＋t²)的最大值即可.
W=(4t－3)/(1＋t²) 【设：4t－3=n,则：t=(1/4)(n＋3)】
=n/[1＋(1/16)(n＋3)²]
=(16n)/(n²＋6n＋25) 【分子分母同除以n】
=16/[(n)＋(25/n)＋6]
则对于n＋(25/n)利用基本不等式,得：n＋(25/n)≥10
则：W的最大值是16/[6＋10]=1
则：λ≥4
即λ的最小值是4