作业帮已知在Rt△ABC中,AB=BC;在Rt△ADE中,AD=DE连接EC,取EC中点M,连接DM和BM.若点D在边AC上,点E在边AB上且与点B不重合,求证:BM=DM且BM⊥DM.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 01:41:47
已知在Rt△ABC中,AB=BC;在Rt△ADE中,AD=DE连接EC,取EC中点M,连接DM和BM.若点D在边AC上,点E在边AB上且与点B不重合,求证:BM=DM且BM⊥DM.
已知在Rt△ABC中,AB=BC;在Rt△ADE中,AD=DE连接EC,取EC中点M,连接DM和BM.
若点D在边AC上,点E在边AB上且与点B不重合,求证:BM=DM且BM⊥DM.
已知在Rt△ABC中,AB=BC;在Rt△ADE中,AD=DE连接EC,取EC中点M,连接DM和BM.若点D在边AC上,点E在边AB上且与点B不重合,求证:BM=DM且BM⊥DM.
原题无误!
由题意知：
M是CE中点,而△CDE与△EBC是直角三角形,所以EM=MC=MD=MB,所以BM=DM
以M点为圆心,MC为半径做圆,则D、B、C、E均在所作的圆周上,因为M是圆心,则∠BMD＝2∠BCD,而∠BCD＝45度,则∠BMD＝90度,所以BM⊥DM
题是否有误？
M是EC中点，△BEC与△DEC均为RT三角形，所以DM=1/2EC=BM
角DME=1/2（180-DEM）
角BME=1/2（180-MEB）
BMD=180-1/2（DEM+MEB）=112.5
（1）BM与DM的关系是BM=DM，BM⊥DM，
理由是：∵∠ABC=90°，∠EDC=90°，M为EC的中点，
∴BM=MC=12EC，DM=MC=12EC，
∴BM=DM，∠MBC=∠BCM，∠MDC=∠MCD，
∵∠BME=2∠BCE，∠DME=2∠DCM，
∴∠BMD=∠BME+∠DME=2∠BCE+2∠ACE=2×45°=90°，
即BM=...
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（1）BM与DM的关系是BM=DM，BM⊥DM，
理由是：∵∠ABC=90°，∠EDC=90°，M为EC的中点，
∴BM=MC=12EC，DM=MC=12EC，
∴BM=DM，∠MBC=∠BCM，∠MDC=∠MCD，
∵∠BME=2∠BCE，∠DME=2∠DCM，
∴∠BMD=∠BME+∠DME=2∠BCE+2∠ACE=2×45°=90°，
即BM=DM，BM⊥DM．
（2）（1）中的结论还成立，
理由是：取AC的中点F，AE的中点G，连接DG、GM、BF、MF，
∵M为EC的中点，
∴MF∥AC，MG=12AC，
∵∠ABC=90°，F为AC中点，AB=AC，
∴BF⊥AC，BF=12AC，
∴GM=BF，
同理MF=DG，MF∥AE，
∵MF∥AE，GM∥AC，
∴∠MFC=∠EAF=∠EGM，
∵∠DGM=∠DAF=∠BFC=90°，
∴∠DGM=∠MFB，
在△DGM和△MFB中
DG=MF∠DGM=∠MFBGM=BF，
∴△DGM≌△MFB，
∴DM=BM，∠MBF=∠DMG，
∵BF⊥AC，MG∥AC，
∴BF⊥GM，
∴∠MBF+∠BMH=180°-90°=90°，
即∠BMD=90°，
∴DM⊥BM，
∴（1）中的结论还成立；
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