作业帮想问下一道数学题 ：1^2+2^2+3^2+...+n^2等于几,附带证明
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/20 13:54:37
想问下一道数学题 ：1^2+2^2+3^2+...+n^2等于几,附带证明
想问下一道数学题 ：1^2+2^2+3^2+...+n^2等于几,附带证明
想问下一道数学题 ：1^2+2^2+3^2+...+n^2等于几,附带证明
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
……
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1²+2²+3²+...+n²=?，附带证明
结论：1²+2²+3²+......+n²=(1/6)n(n+1)(2n+1).
证明：因为(n+1)³-n³=3n²+3n+1，用n=1，2，3，......，n依次代入可得n个等式，然后竖向相加：
2³-1...
全部展开
1²+2²+3²+...+n²=?，附带证明
结论：1²+2²+3²+......+n²=(1/6)n(n+1)(2n+1).
证明：因为(n+1)³-n³=3n²+3n+1，用n=1，2，3，......，n依次代入可得n个等式，然后竖向相加：
2³-1³=3×1²+3×1+1............(1)
3³-2³=3×2²+3×2+1............(2)
4³-3³=3×3²+3×3+1............(3)
............................
(n+1)³-n³=3n²+3n+1.........(n)
________________________+
(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+......+n²)+3(1+2+3+......+n)+n=3(1²+2²+3²+.....+n²)+3n(n+1)/2+n
故1²+2²+3²+......+n²=(1/3)[(n+1)³-3n(n+1)/2-n-1]=(1/6)[2(n+1)³-3n(n+1)-2(n+1)]
=(1/6)(n+1)[2(n+1)²-3n-2]=(1/6)(n+1)(2n²+n)=(1/6)n(n+1)(2n+1).
收起
百度上有证明！
链接：http://baike.baidu.com/link?url=FCsg5Vw6xqyqMfrMmQZWkon3HLcR9v0ef91_RzUSr14UH2XrtEZPbKLj2V9h5_G5
希望可以帮到你！