已知数列{an}满足:a1=3/2,且an=(3n·an-1)/(2an-1+n-1)(n≥2,n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:不等式a1·a2·a3·····an

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/02 12:58:47
已知数列{an}满足:a1=3/2,且an=(3n·an-1)/(2an-1+n-1)(n≥2,n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:不等式a1·a2·a3·····an

已知数列{an}满足:a1=3/2,且an=(3n·an-1)/(2an-1+n-1)(n≥2,n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:不等式a1·a2·a3·····an
已知数列{an}满足:a1=3/2,且an=(3n·an-1)/(2an-1+n-1)(n≥2,n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明:不等式a1·a2·a3·····an

已知数列{an}满足:a1=3/2,且an=(3n·an-1)/(2an-1+n-1)(n≥2,n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:不等式a1·a2·a3·····an
(1)an/n=3a(n-1)/(2a(n-1)+n-1)
倒数n/an=(2a(n-1)+n-1)/3a(n-1)=2/3+(n-1)/3a(n-1)
设n/an=bn,得bn=1/3b(n-1)+2/3
即bn-1=1/3(b(n-1)-1
所以{bn-1}为等比数列,首项b1-1=1/a1-1=-1/3
所以bn-1=-1/3^n
bn=1-3^n
an=n/bn=n*3^n/(3^n-1)
(2)即证明3/(3-1)*3^2/(3^2-1)*3*3/(3^3-1)*...*3^n/(3^n-1)1/2
使用放大的方法,先证明n∈N*时,有(1-1/3)(1-1/3^2)...(1-1/3^n)>=1-(1/3+1/3^2+...1/3^n)①
下面用数学归纳法证明
n=1时①式成立
假设n=k时成立,即
(1-1/3)(1-1/3^2)...(1-1/3^k)>=1-(1/3+1/3^2+...1/3^k)
则n=k+1时
(1-1/3)(1-1/3^2)...(1-1/3^k) [1-1/3^(k+1)]>=1-(1/3+1/3^2+...1/3^k)[1-1/3^(k+1)]
=1-(1/3+1/3^2+...1/3^k)-1/3^(k+1)+1/3^(k+1)(1/3+1/3^2+...1/3^k)
>=1-[1/3+1/3^2+...1/3^k+1/3^(k+1)] ①式成立
故由数学归纳法知①式对一切n∈N*均成立
∴(1-1/3)(1-1/3^2)...(1-1/3^n)>=1-(1/3+1/3^2+...1/3^n)
=1-(1/3)[1-(1/3)^n]/(1-1/3)
=1-(1/2)[1-(1/3)^n]
=1/2+1/2(1/3)^n
>1/2
即原式成立

已知数列{an}满足a(n+1)=an+3n+2,且a1=2,求an=? 已知数列an满足a(n+1)=an+3n+2,且a1=2,求an 已知数列{an}满足3a(n+1)=2an-4,且a1=1/5,求an 已知数列{an}满足条件a1=3,且a( n+1)-an=(20)^n+n,求通项公式已知数列{an}满足条件a1=3,且a( n+1)-an=(2)^n+n,求通项公式 已知数列{an}满足,a1=2,a(n+1)=3根号an,求通项an数列{an}满足:an>0,且根号下Sn=an+1/4,求通项an 已知数列{an}满足An+1=2^nAn,且A1=1,则通项an 已知数列an满足an=1+2+...+n,且1/a1+1/a2+...+1/an 已知数列{an}满足a1=4且a(n+1),an,3成等差数列,其中.已知数列{an}满足a1=4且a(n+1),an,3成等差数列,其中n属于正自然数.1.求证:数列{an-3}是等比数列2.令bn=2n×an-6n,求数列{bn}的通项公式以及前n项 已知数列{an}满足:a1=1,且an-a(n-1)=2n.求a2,a3,a4.求数列{an}通项an 已知数列{an}满足a1=1,且an=3a(n-1)+2^(n-1),证明{an+2^n}是等比数列 五道高一数学题,在线等1.数列{an}满足:a1=2.当n≥1时,有a(n+1)=an/2+3,求{an}的通项公式an2.已知a1=1,a2=3且a(n+2)-2a(n+1)+an=a,求an3.数列{an}满足a1=1,a(n+1)=4an+(3n+1),求an4.数列{an}满足递推关系:an=a(n-2)+2,且a1= 数列{an}满足a1=1,且an=an-1+3n-2,求an 已知数列an满足a1=1,a(n+1)=an/(3an+2),则an=? 已知数列{an}中,a1=3,且满足a(n+1)-3an=2x3^n(n属于N*)1 求证数列{an/3^n}是等差数列2 求数列{an}的通项公式 在数列an中,a1=1,且满足a(n+1)=3an +2n,求an 已知数列an满足an*a(n-2)=a(n-1),(n>2且n∈N),a1=2,a2=3,则a2013=? 已知数列an满足an=4a(n-1)+3n-4,且a1=3,证明数列an+n为等比数列 【高中数学数列】已知数列an满足a1=1,a2=2,且an=an-1/an-2 (n大于等于3)则a2012=?