如图,AB是圆O的直径,BC是弦,延长BC到D,使CD=BC,CE切圆O于点C,交AD于E,求证:CE⊥AD.为什么由CE切⊙O于C得到 ∠ACE=∠CBA可不可以由AC为BD的中垂线直接得到AD=AB呢?可不可以给出一个详细的步骤?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/28 00:34:11
如图,AB是圆O的直径,BC是弦,延长BC到D,使CD=BC,CE切圆O于点C,交AD于E,求证:CE⊥AD.为什么由CE切⊙O于C得到 ∠ACE=∠CBA可不可以由AC为BD的中垂线直接得到AD=AB呢?可不可以给出一个详细的步骤?
如图,AB是圆O的直径,BC是弦,延长BC到D,使CD=BC,CE切圆O于点C,交AD于E,求证:CE⊥AD.
为什么由CE切⊙O于C得到 ∠ACE=∠CBA
可不可以由AC为BD的中垂线直接得到AD=AB呢?
可不可以给出一个详细的步骤?
如图,AB是圆O的直径,BC是弦,延长BC到D,使CD=BC,CE切圆O于点C,交AD于E,求证:CE⊥AD.为什么由CE切⊙O于C得到 ∠ACE=∠CBA可不可以由AC为BD的中垂线直接得到AD=AB呢?可不可以给出一个详细的步骤?
证明:连接AC、OC
∵直径AB
∴∠ACB=90
∴∠OCB+∠OCA=90,∠B+∠BAC=90,∠ACD=∠ACB=90
∵CE切圆O于E
∴∠OCE=90
∴∠ACE+∠OCA=90
∴∠ACE=∠OCB
∵OB=OC
∴∠B=∠OCB
∴∠B=∠ACE
∴∠ACE+∠BAC=90
∵BC=CD,AC=AC
∴△ABC≌△ADC (SAS)
∴∠BAC=∠DAC
∴∠ACE+∠DAC=90
∴∠AEC=180-(∠ACE+∠DAC)=90
∴CE⊥AD
∠ACE、∠CBA所对应圆弧都为劣弧AC
所以∠ACE=∠CBA,实际上是可以直接用的,不用像我这样绕一圈再回来证明.
∵AB为⊙O直径
∴∠ACB=90º
∵CD=BC
∴AC为BD中垂线
∴∠BAC=∠DAC
∵CE切⊙O于C
∴∠ACE=∠CBA
∴∠BCA=∠CEA=90º
∴ CE⊥AD。