如图,在△ABC中,已知∠BAC=90°,AB=AC,D是BC上的一点,求证：BD²+CD²=2AD²如题

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/05 22:40:10

如图,在△ABC中,已知∠BAC=90°,AB=AC,D是BC上的一点,求证：BD²+CD²=2AD²如题
如图,在△ABC中,已知∠BAC=90°,AB=AC,D是BC上的一点,求证：BD²+CD²=2AD²
如题

如图,在△ABC中,已知∠BAC=90°,AB=AC,D是BC上的一点,求证：BD²+CD²=2AD²如题
证明：作AE⊥BC于E,如上图所示：
由题意得：ED=BD-BE=CE-CD,
∵在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,
∴BE=CE=1/2BC,
由勾股定理可得：
AB2+AC2=BC2,
AE2=AB2-BE2=AC2-CE2,
AD2=AE2+ED2,
∴2AD2=2AE2+2ED2=AB2-BE2+（BD-BE）2+AC2-CE2+（CE-CD）2
=AB2+AC2+BD2+CD2-2BD×BE-2CD×CE
=AB2+AC2+BD2+CD2-2×1/2BC×BC
=BD2+CD2,
即：BD2+CD2=2AD2．

全部展开

证明：过点A作AF垂直BC于F
所以角AFD=角AFC=角AFB=90度
因为角BAC=90度
AB=AC
所以三角形ABC是等腰直角三角形
所以AF=BF=CF=1/2BC
BC=BD+CD
由勾股定理得：
AD^2=AE^2+DE^2
AB^2+AC^2=BC^2
所以2AD^2=2AE^2+2DE^2=AB^2-BF^2+(BD-BF)^2+AC^2-CF^2-+CF-CD)^2
2AD^2=AB^2+AC^2+BD^2+BF^2-BF^2-2BD*BF-CF^2+CF^2-2CD*CF+CD^2
2AD^2=BC^2+BD^2+CD^2-2BF*(BD+CD)
2AD^2=BC^2+BD^2+CD^2-2*1/2BC*BC
2AD^2=BD^2+CD^2+BC^2-BC^2
BD^2+CD^2=2AD^2

收起

已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,且60° 如图,已知：在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC且交AC于D.若∠BAC=90°,求证：AD=BD修改∠BAC=30° 已知:如图 ,在RT△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°.求证:BC=1/2AB 已知如图,在Rt△ABC中.∠C=90°,AD平分∠BAC,CD=1.5,BD=2.5,求AC的长已知；如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BD⊥AE,CE⊥AE.求证：BD=DE+CE 已知:如图,在△ABC中,∠BAC=90°,D,E,F分别是BC,CA,AB边的中点.求证AD=EF 已知,如图,在△ABC是等腰三角形,∠BAC=90°,AB=10,D为△ 如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,且60° 如图,已知:在△ABC中,AB=AC,∠DBC=∠DCB.求证:AD平分∠BAC 如图,已知：在△ABC中,AB=AC.∠DBC=∠DCB.求证：AD平分∠BAC 如图,已知在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证；AD平分∠BAC 如图,已知在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证；AD平分∠BAC 如图,已知在△ABC中,AD平分∠BAC,求证DB/DC=AB/AC 如图,已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC边上的高,BF平分∠ABC,交AD于点E.求证：△ABC是等腰三角形. 已知如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=54°,∠ADC=72°,求证,AD平分∠BAC已知如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=54°，∠ADC=72°，求证，AD平分∠BAC 如图,已知在直角三角形中,∠BCA=90°,cos∠BAC=4/5,分别以AB,AC为底边向△ABC外侧作等腰三角如图,已知在直角三角形中,∠BCA=90°,cos∠BAC=4/5,分别以AB,AC为底边向△ABC外侧作等腰三角形ADB和等腰三角如图,在△ABC中,点D在BC上,AB=AD=DC,已知∠C=25°,求∠BAC的度数已知如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ACB=40°,AP、BQ分别平分∠BAC和∠ABC,且分别交BC、CA于点P、Q,求证已知如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ACB=40°，AP、BQ分别平分∠BAC和∠ABC，且分别交BC、CA于点P、Q，求证