如图,在三角形ABC中,角A=60°,BD,CE分别平分角ABC和角ACB,BD CE交于点O,试判断BE,CD,BC的数量关系并加以证明

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 10:00:50

如图,在三角形ABC中,角A=60°,BD,CE分别平分角ABC和角ACB,BD CE交于点O,试判断BE,CD,BC的数量关系并加以证明
如图,在三角形ABC中,角A=60°,BD,CE分别平分角ABC和角ACB,BD CE交于点O,试判断BE,CD,BC的数量关系并加以证明

如图,在三角形ABC中,角A=60°,BD,CE分别平分角ABC和角ACB,BD CE交于点O,试判断BE,CD,BC的数量关系并加以证明
BC＝BE＋CD.
［证明］
在BC上取一点F,使∠BOF＝∠BOE.
∵∠FBO＝∠EBO、∠BOF＝∠BOE、BO＝BO,∴△BOF≌△BOE,∴BF＝BE.······①
显然有：
∠BOE＝∠OBC＋∠OCB＝（1/2）（∠ABC＋∠ACB）＝（1/2）（180°－∠A）＝60°,
∴∠COD＝∠BOE＝60°,又∠BOF＝∠BOE＝60°,
∴∠COF＝180°－∠BOE－∠BOF＝180°－60°－60°＝60°,∴∠COF＝∠COD.
∵∠COF＝∠COD、∠FCO＝∠DCO、CO＝CO,∴△FCO≌△DCO,∴CF＝CD.······②
①＋②,得：BF＋CF＝BE＋CD,∴BC＝BE＋CD.

设∠ABD=x，∠ACE=y，
则∠DBC=x，∠ECB=y，
∴由△内角和定理得：
①、2x＋2y＋60=180
②、x＋y＋∠BOC=180
∴①－2×②整理得：
∠BOC=120°
∴∠EOB=∠DOC=60°
在BC上截BF=BE，
易证：△EBO≌△FBO﹙SAS﹚
∴∠BOF=∠BOE=60°

全部展开

设∠ABD=x，∠ACE=y，
则∠DBC=x，∠ECB=y，
∴由△内角和定理得：
①、2x＋2y＋60=180
②、x＋y＋∠BOC=180
∴①－2×②整理得：
∠BOC=120°
∴∠EOB=∠DOC=60°
在BC上截BF=BE，
易证：△EBO≌△FBO﹙SAS﹚
∴∠BOF=∠BOE=60°
∴∠FOC=∠DOC=60°
∴易证：△FOC≌△DOC﹙SAS﹚
∴DC=FC
∴BE＋CD=BC。

收起

BE+CD=BC
因为角BAC等于60度，那么角ABC+角ACB=120度
且BD和CE为角平分线，那么角OBC+角OCB=60度
角BOC为120度
作OF为角BOC角平分线交BC与F。
那么三角形BOE全等于三角形BOF，同理COD全等于COF
所以BE=BF，CD=CF BC=BF+FC