设 n是大于1909的正整数,使得n-1909/2009-n 为完全平方数的n 的个数是

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/25 11:43:52

设 n是大于1909的正整数,使得n-1909/2009-n 为完全平方数的n 的个数是
设 n是大于1909的正整数,使得n-1909/2009-n 为完全平方数的n 的个数是

设 n是大于1909的正整数,使得n-1909/2009-n 为完全平方数的n 的个数是
n-1909)/(2009-n)=N (N为完全平方数,N=0,1,4,9,16,...)
即是：
{（n-2009)+100 }/(2009-n)={100/(2009-n)}-1=N
所以：
100/(2009-n)=N+1
（N+1)(2009-n)=100
N+1和2009-n都是正整数,都是100的因数
N=49时,n=2007;
N=9时,n=1999;
N=4,n=1989;
N=1,n=1959

因为n-1909/2009-n 为完全平方数，所以n-1909/2009-n=a^2 整理方程可得
n=2009-100/(a^2+1) 因为n是正整数，所以a为1到7中的数（a>7时100/(a^2+1)不为整数）。代入n=2009-100/(a^2+1)中可知a=7，3，2，1，则n=2007，1999，1989，1959

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