作业帮已知函数f(x)=lnx－ax＋﹢[(1－a)／x]－1(a∈R)（1）当=-1时求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；（2）当a≤1/2时,讨论f(x)的单调性
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 14:31:06
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已知函数f(x)=lnx－ax＋﹢[(1－a)／x]－1(a∈R)（1）当=-1时求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；（2）当a≤1/2时,讨论f(x)的单调性
已知函数f(x)=lnx－ax＋﹢[(1－a)／x]－1(a∈R)
（1）当=-1时求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；
（2）当a≤1/2时,讨论f(x)的单调性
已知函数f(x)=lnx－ax＋﹢[(1－a)／x]－1(a∈R)（1）当=-1时求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；（2）当a≤1/2时,讨论f(x)的单调性
（1）当a=-1时,f（x）=1nx+x+2/x-1,x∈（0,+∞）,
所以f′（x）=1x+1-2x2,因此,f′（2）=1,
即曲线y=f（x）在点（2,f（2））处的切线斜率为1,
又f（2）=1n2+2,y=f（x）在点（2,f（2））处的切线方程为y-（1n2+2）=x-2,
所以曲线,即x-y+1n2=0；
（2）因为f(x)=lnx-ax+
1-a/x-1,
所以f′(x)=
1/x-a+
a-1/x^2=-
ax2-x+1-ax2,x∈（0,+∞）,
令g（x）=ax2-x+1-a,x∈（0,+∞）,
（1）当a=0时,g（x）=-x+1,x∈（0,+∞）,
所以,当x∈（0,1）时,g（x）＞0,
此时f′（x）＜0,函数f（x）单调递增减；
（2）当a≠0时,由g（x）=0,
即ax2-x+1-a=0,解得x1=1,x2=1a-1．
①当a=12时,x1=x2,g（x）≥0恒成立,
此时f′（x）≤0,函数f（x）在（0,+∞）上单调递减；
②当0＜a＜1/2时,1/2-1＞1＞0
x∈（0,1）时,g（x）＞0,此时f′（x）＜0,函数f（x）单调递减,
x∈（1,1a-1）时,g（x）＞0,此时f′（x）＞0,函数f（x）单调递增,
x∈（1a-1,+∞）时,g（x）＞0,此时f′（x）＜0,函数f（x）单调递减；
③当a＜0时,由于1a-1＜0,
x∈（0,1）时,g（x）＞0,此时f′（x）＜0函数f（x）单调递减；
x∈（1,∞）时,g（x）＜0此时函数f′（x）＜0函数f（x）单调递增．
综上所述：
当a≤0时,函数f（x）在（0,1）上单调递减；
函数f（x）在（1,+∞）上单调递增
当a=1/2时,函数f（x）在（0,+∞）上单调递减
当0＜a＜1/2时,函数f（x）在（0,1）上单调递减；
函数f（x）在（1,1a-1）上单调递增；
函数f（x）在（1a-1,+∞）上单调递减．
函数f(x)求导，然后讨论，自己做 已知f(x)=lnx-ax+(1-a)/x-1 f'(x)=-(x-1)[(x-(1-a)/a)]/x <0 此时， f(x)单调减。.