n阶矩阵A满足A^2=A,秩为r,证明存在可逆n阶矩阵P,使得PAP^-1=[Er,0]（底下还有两个0）不要用到特征值（那个我也会） 还有什么最小多项式之类的知识 就用分块矩阵一类的简单知识

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 09:26:26
n阶矩阵A满足A^2=A,秩为r,证明存在可逆n阶矩阵P,使得PAP^-1=[Er,0]（底下还有两个0）不要用到特征值（那个我也会） 还有什么最小多项式之类的知识 就用分块矩阵一类的简单知识

n阶矩阵A满足A^2=A,秩为r,证明存在可逆n阶矩阵P,使得PAP^-1=[Er,0]（底下还有两个0）不要用到特征值（那个我也会） 还有什么最小多项式之类的知识 就用分块矩阵一类的简单知识
n阶矩阵A满足A^2=A,秩为r,证明存在可逆n阶矩阵P,使得PAP^-1=[Er,0]（底下还有两个0）
不要用到特征值（那个我也会） 还有什么最小多项式之类的知识 就用分块矩阵一类的简单知识

n阶矩阵A满足A^2=A,秩为r,证明存在可逆n阶矩阵P,使得PAP^-1=[Er,0]（底下还有两个0）不要用到特征值（那个我也会） 还有什么最小多项式之类的知识 就用分块矩阵一类的简单知识
第一步:
设A = (a1, a2, ..., an), B = E - A = (b1, b2, ..., bn), 
则AB = A(E - A) = A - A^2 = 0.
可见b1, b2, ..., bn都是齐次线性方程组Ax = 0的解向量, 
因而能由Ax = 0的基础解系c1, c2, ... ct线性表示, 其中t = n - r.
故秩(B) =  秩(b1, b2, ..., bn) 小于或等于 n - r.
由此可得 秩(A) + 秩(B) 小于或等于 n.
另一方面, A + B = A + E - A = E, 
故n = 秩(E) = 秩(A + B) 小于或等于 秩(A) + 秩(B). 
综合上述两个方面可得 秩(A) + 秩(B) = n.
第二步:
不妨设 a1, a2, ..., ar 为 a1, a2, ..., an 的一个极大无关组, 
b1, b2, ..., bt为 b1, b2, ..., bn 的一个极大无关组, 
则a1, a2, ..., ar,  b1, b2, ..., bt线性无关
(否则秩(a1, a2, ..., ar,  b1, b2, ..., bt) < n, 
而a1, a2, ..., an及b1, b2, ..., bn都能由a1, a2, ..., ar,  b1, b2, ..., bt线性表示,
故n = 秩(E) = 秩(A + B) 小于或等于 秩(A, B) = 秩(a1, a2, ..., an, b1, b2, ..., bn) 小于或等于 秩(a1, a2, ..., ar,  b1, b2, ..., bt) < n, 矛盾!).
于是得n阶可逆矩阵(a1, a2, ..., ar,  b1, b2, ..., bt).
第三步: 
令P^-1 = (a1, a2, ..., ar,  b1, b2, ..., bt).
则AP^-1 = A(a1, a2, ..., ar,  b1, b2, ..., bt) = (Aa1, Aa2, ..., Aar,  Ab1, Ab2, ..., Abt) 
= (a1, a2, ..., ar,  0, 0, ..., 0) 
= (a1, a2, ..., ar,  b1, b2, ..., bt)(Er 0 底下还有两个0)
= P^-1(Er 0 底下还有两个0).
上式两端同时左乘以P可得PAP^-1 = (Er 0 底下还有两个0).

这个好象只能用特征值及矩阵的对角化来解决

设n阶矩阵A满足A^2=A,E为n阶单位矩阵,证明r(A)+r(A-E)=n 设n方阵A满足A^2=A,E为n阶单位矩阵,证明R(A)+R(A-E)=n 线性代数：设A是n阶矩阵,满足A^2=A.证明：r(A)+r(A-E)=n 设n阶矩阵A满足A平方=A,E为n阶单位矩阵,证明r(A)+r(A-E)=n. 设n阶矩阵A满足A*A=A,E为n阶单位阵,证明：R（A）+R(A-E)=n 设A为n阶矩阵,证明r(A^n)=r(A^(n+1))线性代数 线性代数求证n阶矩阵A,B满足AB=0,证明:若A的秩为r,则B的秩为n-r 设n阶距阵A满足A的平方=E ,E为 n阶单位矩阵证明：R（A+E）+R（A-E）=N 设A为n阶矩阵,满足A2=A,设A为n阶矩阵,满足A2=A,试证:r(A)+r(A-I)=n.能用大学的线性代数知识来证明吗? 若n阶矩阵A满足A^2-A+E=0,证明A为非奇异矩阵 A为N阶矩阵,A^2=I,证明r(A+I)+r(A-I)=n 已知 A满足A平方=A ,E为单位矩阵,证明：A 可逆,并求其逆阵.（2）r(A)+r(A-E)=n ． 一道大学线性代数证明题:设n阶矩阵A满足A的平方=A,E为n阶单位矩阵,证明R(A)+R(A-E)=n 设A是n阶矩阵,满足A^2-A-2E=o,证明r(A-2E)r(A+E)=n 已知矩阵A为n阶矩阵,且满足A^2=E 则矩阵A的秩为n A和B为n阶矩阵,且满足A^2=A,B^2=B,r(A+B-E)=n,证明r(A)=r(B) 大学题目 线性代数 设A是n阶实对称矩阵且满足A2=A,又设A的秩为r . 请证明A的特征值为1或0设A是n阶实对称矩阵且满足A2=A,又设A的秩为r . 请证明A的特征值为1或0 设A是m*n矩阵,r(A)=r,证明：存在秩为n-r的n阶矩阵B,使AB=0