已知α,β均为锐角,且sinα=3/5,tan(α-β)=-1/3.(1)求sin(α-β)值 (2)求cosβ值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 15:44:24
已知α,β均为锐角,且sinα=3/5,tan(α-β)=-1/3.(1)求sin(α-β)值 (2)求cosβ值

已知α,β均为锐角,且sinα=3/5,tan(α-β)=-1/3.(1)求sin(α-β)值 (2)求cosβ值
已知α,β均为锐角,且sinα=3/5,tan(α-β)=-1/3.(1)求sin(α-β)值 (2)求cosβ值

已知α,β均为锐角,且sinα=3/5,tan(α-β)=-1/3.(1)求sin(α-β)值 (2)求cosβ值
(1)由tan(α-β)=-1/3,有sin(α-β)/cos(α-β)=-1/3
那么3sin(α-β)=-cos(α-β),两边平方得9[sin(α-β)]ˆ2=[cos(α-β)]ˆ2,
9[sin(α-β)]ˆ2=1-[sin(α-β)]ˆ2,
解得sin(α-β)=±(√10/10)
已知α,β均为锐角,由tan(α-β)=-1/3可知α-β<0,即α<β.
所以sin(α-β)的值为负,故sin(α-β)=-(√10/10)…①
(2)sin(α-β+β)=sinα=3/5
又sin(α-β+β)=sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ
所以sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ=3/5…②
由①可求得cos(α-β)=3√10/10
将相应的值代入②式[-(√10/10)]cosβ+[3√10/10]sinβ=3/5
整理得3√10sinβ=6+√10cosβ
两边平方后整理得50(cosβ)ˆ2+6√10cosβ-27=0
cosβ=[(-3√10)±(12√10)]/50
由于β为锐角,所以cosβ=9√10/50

sinα=3/5
∵α为锐角
∴cosα=4/5 tanα=3/4
∵tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
代入得tanβ=13/9
得sinβ=13√10/50 cosβ=9√10/50
代入得sin(α-β)=3/5*9√10/50-4/5 *13√10/50
=-√10/10