求级数 ∑(x-3)^n / n-n^3 的收敛半径和收敛域!最好把步骤写下 尤其是收敛域

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 19:14:22
求级数 ∑(x-3)^n / n-n^3 的收敛半径和收敛域!最好把步骤写下 尤其是收敛域

求级数 ∑(x-3)^n / n-n^3 的收敛半径和收敛域!最好把步骤写下 尤其是收敛域
求级数 ∑(x-3)^n / n-n^3 的收敛半径和收敛域!
最好把步骤写下 尤其是收敛域

求级数 ∑(x-3)^n / n-n^3 的收敛半径和收敛域!最好把步骤写下 尤其是收敛域
令t＝x－3,级数变为∑t^n/(n-n^3),ρ＝lim(n→∞)|a(n+1)/an|＝lim(n→∞)|n(1-n^2)/(n+1)((n+1)^2-1)|＝lim(n→∞) n/(n+2)＝1,所以收敛半径为R＝1
因为lim(n→∞) |1/(n^3-n)/(1/n^3)|＝lim(n→∞) n^2/(n^2-1)＝1,所以级数∑1/(n^3-n)收敛,所以t＝±1时,级数∑t^n/(n-n^3)都收敛,所以收敛域是[-1,1]
所以,原级数∑(x-3)^n/(n-n^3)的收敛域是|x-3|≤1,即[2,4],收敛半径是1

lim(n->正无穷）|[(x-3)^(n+1)/(n+1-(n+1)^3)]/[(x-3)^n/(n-n^3)]|
= |x-3|lim(n->正无穷）|[n(1-n)(1+n)]/[(n+1)(1-n-1)(1+n+1)]|
= |x-3|lim(n->正无穷）|1-n|/|n+2|
= |x-3| < 1
R = 1.
|x-3|<1时，级数收敛。

全部展开

lim(n->正无穷）|[(x-3)^(n+1)/(n+1-(n+1)^3)]/[(x-3)^n/(n-n^3)]|
= |x-3|lim(n->正无穷）|[n(1-n)(1+n)]/[(n+1)(1-n-1)(1+n+1)]|
= |x-3|lim(n->正无穷）|1-n|/|n+2|
= |x-3| < 1
R = 1.
|x-3|<1时，级数收敛。
|x-3|=1时,
Sum(n=1->正无穷）|x-3|^n/|n(1-n)(1+n)| = Sum(n=1->正无穷）1/[n(n+1)(n-1)]
而Sum(n=1->正无穷）1/n^3收敛。
lim(n->正无穷）n^3/[n(n+1)(n-1)] = 1.
因此，Sum(n=1->正无穷）1/[n(n+1)(n-1)]收敛。
Sum(n=1->正无穷）(x-3)^n/[n(1-n)(1+n)]绝对收敛。
所以，
级数的收敛域为|x-3|<=1.

收起

求级数的收敛半径∑((1/2∧n)+3∧n)×x∧n 求级数∑(3^n/n+1)*x^n的收敛半径和收敛域 求级数1/[3^n+(-2)^ n]·x^n/n的收敛域 求级数∑(n=1)x^(n-1)/(n*3^n)的收敛区间及其和函数 求级数敛散性∑n!/(n^n) 级数求和问题：∑(0,∞)((-1)^n * n^3 * x^n)/(n+1)! 判断级数∑3^n/n!敛散性 求级数∑(n从1到无穷)(x-3/3)^n的收敛域 求级数∑（∞,n=1）（2x-3）^n 的收敛域, 【1】求级数X^n/n^3的收敛域 【2】求级数(2^n/n+1)*x^n的收敛半径 求级数(1/2^n+3^n)x^n的收敛半径和收敛域... 判定级数∞∑n=1 [(-1)^n-1]*(3^n)(x^2n)/n]的敛散性. 级数∑(-1)^n{(n+1)}/(n^3)绝对收敛? 求级数∑(n!/n^n)(x^n)的收敛域 求级数 n的阶程除以{3的n次方} 在乘以x的n次方 的收敛性{n!/3*n}在乘以x*n 的收敛性 微积分 判断级数∑(n=1,∞)n^n/3^n*n!的收敛性 判断级数 ∑ (∝ n=1) 3^n*n!/n^n的敛散性 求级数n^3+2/1敛散性