如图5,三角形ABC内接于圆o,AB为直径,角CBA的平分线BD交于点F,交圆O于点D,DE垂直AB于点E,且交AC于点P,连接AD. （1）求证:角DAC等于角DBA （2）求证:P是线段AF的中点

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 19:19:48

如图5,三角形ABC内接于圆o,AB为直径,角CBA的平分线BD交于点F,交圆O于点D,DE垂直AB于点E,且交AC于点P,连接AD. （1）求证:角DAC等于角DBA （2）求证:P是线段AF的中点
AB是圆直径,D,C为圆上两点,所以角ADB=角ACB=90度
在三角形ADF中,角DAF=90度减去角DFA.
在三角形CFB中,角CBF=90度减去角CBF.
角DFA=角CFB
所以角DAF=角CBF
又因为角平分线,所以角DAC=角DBA.
（2）
因为直角三角形ADF,角DAF+DFA=90度角DFA=90-DAF
因为直角三角形DEB,角EDB+DBE=90度角EDB=90-EBD
角DBA=DAF已证
所以角DFA=EDB,所以DP=PF
在直角三角形EDB中,90度-角DBA=EDB
又因为角ADB是直角,所以角ADE=90-EDB
所以角ADE=DBA
因为角DBA=DAC已证
所以角ADE=DAC
所以DP=AP
由上 DP=AP=PF
所以P 是线段AP中点

∠3和∠2相对同一条弦CD，∴∠3=∠2，BD平分∠CBA，∴∠2=∠1

∴∠3=∠1，即角DAC等于角DBA

这时已知∠3=∠2=∠1，为方便，设为x

因为AB是直径，于是∠ACB为90°，∴∠6=∠CFB=90°-∠2=90°-x

在直角三角形EDB中，∠5=90°-∠1=90°-x

到此可知∠5=∠6，∴PF=PD

在直角三角形ADB中，∠4=90°-∠5=90°-（90°-x）=x

∴∠3=∠4=x，∴PD=PA

结合上面可知：PF=PA，即P是线段AF的中点。