证明方程x³+4x²_3x_1=0有三个实根

证明方程x³+4x²_3x_1=0有三个实根
证明方程x³+4x²_3x_1=0有三个实根

证明方程x³+4x²_3x_1=0有三个实根
设f(x)=x³+4x²-3x-1
f(0)=-10
因此在0与1之间必有一个0点
同理f(-1)=5>0
所以在-1与0之间必有一个0点
又f（-5）=-11

考察函数y=x³+4x²-3x-1，对其求导，并令其为0，得
y'=3x²+8x-3＝0
(3x-1)(x+3)=0
于是得x1＝1/3；x2＝-3
即，函数在x1＝1/3；x2＝-3点处有极值，x1＝1/3时，y=-41/27＜0；x2＝-3时，y=17＞0
当x从充分小的负数增大到-3时，y由负变化到正，因y连续，由费马定理...

全部展开

考察函数y=x³+4x²-3x-1，对其求导，并令其为0，得
y'=3x²+8x-3＝0
(3x-1)(x+3)=0
于是得x1＝1/3；x2＝-3
即，函数在x1＝1/3；x2＝-3点处有极值，x1＝1/3时，y=-41/27＜0；x2＝-3时，y=17＞0
当x从充分小的负数增大到-3时，y由负变化到正，因y连续，由费马定理知必有一点x0＜-3，使得y=0；
同理，当x从-3增大到1/3时，y由正变化到负，必有一点-3＜x1＜1/3，使得y=0；
当x从1/3增大到充分大的正数时，y由负变化到正，必有一点1/3＜x2，使得y=0；
综上，x0;x1;x2即为方程x³+4x²-3x-1＝0的三个实根。

收起