作业帮已知实数x,y,x满足x+y+z=7,x^2+y^2+z^2=17.求xyz最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 15:37:15
已知实数x,y,x满足x+y+z=7,x^2+y^2+z^2=17.求xyz最大值
已知实数x,y,x满足x+y+z=7,x^2+y^2+z^2=17.求xyz最大值
已知实数x,y,x满足x+y+z=7,x^2+y^2+z^2=17.求xyz最大值
本题利用条件极值构造Lagrange函数
目标函数是f(x,y,z)=xyz,约束条件是G(x,y,z)=x+y+z-7,H(x,y,z)=x²+y²+z²-17
所以构造Lagrange函数
L(x,y,z,λ,μ)=f(x,y,z)-λG(x,y,z)-μH(x,y,z)=xyz-λ(x+y+z-7)-μ(x²+y²+z²-17)
当∂L/∂x=0、∂L/∂y=0、∂L/∂z=0、G=0、H=0时,所求条件极值存在于此时的解(x0,y0,z0,λ0,μ0)
(1)∂L/∂x=yz-λ-2μx=0
(2)∂L/∂y=zx-λ-2μy=0
(3)∂L/∂z=xy-λ-2μz=0
(4)x+y+z=7
(5)x²+y²+z²=17
由(4)²-(5)可知xy+zy+zx=(7²-17)/2=16,那么(1)+(2)+(3)可得16=3λ+14μ
因为xyz=λx+2μx²=λy+2μy²=λz+2μz²,由λx+2μx²=λy+2μy²得[2μ(x+y)+λ](x-y)=0,同理有[2μ(y+z)+λ](y-z)=0、[2μ(z+x)+λ](z-x)=0
i)若x-y=0,即x=y,约束条件变为2x+z=7,2x²+z²=17,解得x=y=8/3,z=5/3或x=y=2,z=3,此时xyz最大值为2*2*3=12.y=z或者z=x同理可得最大值为12!
ii)若x≠y≠z,则只能2μ(x+y)+λ=0,2μ(y+z)+λ=0,2μ(z+x)+λ=0.相加可得28μ+3λ=0
联立16=3λ+14μ、28μ+3λ=0可得：λ=32/3,μ=-8/7
代回2μ(x+y)+λ=0,2μ(y+z)+λ=0,2μ(z+x)+λ=0中可得：x+y=y+z=z+x=14/3,所以x=y=z=7/3,但这与x²+y²+z²=17矛盾,舍去!
综合上述：当x=y=3,z=2或y=z=3,x=2或z=x=3,y=2时,xyz有最大值12!