拉格朗日中值定理的问题证明拉格朗日中值定理要设一个辅助函数g(x)=[(f(b)-f(a))]/(b-a)×(x-a)+f(a)-f(x),f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导.那么,为什么g(x)也是在[a,b]连续,在(a,b)可导呢?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/01 17:48:15

拉格朗日中值定理的问题证明拉格朗日中值定理要设一个辅助函数g(x)=[(f(b)-f(a))]/(b-a)×(x-a)+f(a)-f(x),f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导.那么,为什么g(x)也是在[a,b]连续,在(a,b)可导呢?
拉格朗日中值定理的问题
证明拉格朗日中值定理要设一个辅助函数g(x)=[(f(b)-f(a))]/(b-a)×(x-a)+f(a)-f(x),f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导.那么,为什么g(x)也是在[a,b]连续,在(a,b)可导呢?

拉格朗日中值定理的问题证明拉格朗日中值定理要设一个辅助函数g(x)=[(f(b)-f(a))]/(b-a)×(x-a)+f(a)-f(x),f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导.那么,为什么g(x)也是在[a,b]连续,在(a,b)可导呢?
将三项分开看：
1、对于确定的f（x）而言,[(f(b)-f(a))]/(b-a)是一个固定值,所以[(f(b)-f(a))]/(b-a)*(x-a)求导结果就是[(f(b)-f(a))]/(b-a)
2、f(a)也是固定值,求导结果为0
3、剩下的f（x）又可导
三项均可导,其和g（x）当然就可导了.

由连续函数可导函数构造的初等函数在其定义域上也是连续可导的，这个结论可以证明的！

由连续函数和可导函数的四则运算性质可知。连续（可导）函数之间的加减乘除所得的函数仍然是连续（可导）函数，其中除法得到的函数在分母为0的地方除外。

全部展开

给你个思路吧，如果你想严密地证明，你必须从连续和可导的定义来。
题目前提是f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，那么从定义得到：
f（x）在x处左右可导且值相同，即
lim△x->0 (f(x+△x)-f(x))/△x = lim△x->0 (f(x)-f(x-△x))/△x
上面等式其值我们不妨记为f'(x).
现在你要做的就是把lim△x->0 (g(x+△x)-g(x))/△x 和 lim△x->0 (g(x)-g(x-△x))/△x 算出来，看看它们的值相等不相等。如果相等就可以根据定义证明g(x)也是在[a,b]连续，在(a,b)可导。
计算中要用到题目的前提哦，即lim△x->0 (f(x+△x)-f(x))/△x = lim△x->0 (f(x)-f(x-△x))/△x = f'(x）
自己推推g(x)也是左右可导并相等吧

收起

拉格朗日中值定理的证明拉格朗日中值定理的证明证明拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理证明拉格朗日中值定理 “中值”指的是什么? 拉格朗日中值定理来证明高数上拉格朗日中值定理的证明当用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理时,辅助函数是如何找到的. 中值定理的证明拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理证明这道题,谁会? 拉格朗日中值定理证明,高数高数拉格朗日中值定理证明题请用柯西不等式证明拉格朗日中值定理高数利用微分中值定理（罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理) 证明高数,拉格朗日中值定理公式的证明,看不懂, 拉格朗日中值定理,简单一点的证明,书上真心看不懂拉格朗日中值定理是什么