如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=根号2,AB=1,AD=m,E为BC中点,且∠AEA1恰为二面角A1-ED-A的平面角.（1）求证：平面A1DE⊥平面A1AE（2）求三棱锥E-ADA1的体积

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 16:27:21

如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=根号2,AB=1,AD=m,E为BC中点,且∠AEA1恰为二面角A1-ED-A的平面角.（1）求证：平面A1DE⊥平面A1AE（2）求三棱锥E-ADA1的体积
如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=根号2,AB=1,AD=m,E为BC中点,且∠AEA1恰为二面角A1-ED-A的平面角.
（1）求证：平面A1DE⊥平面A1AE
（2）求三棱锥E-ADA1的体积

如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=根号2,AB=1,AD=m,E为BC中点,且∠AEA1恰为二面角A1-ED-A的平面角.（1）求证：平面A1DE⊥平面A1AE（2）求三棱锥E-ADA1的体积
郭敦顒回答：
没给出图形,自绘了（网络传送时不能显示线条,字符位置也有变）.
∵长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=根号2,AB=1,AD=m,E为BC中点,且∠AEA1恰为二面角A1-ED-A的平面角.
∴AE⊥DE,∴∠DAE=∠ADE=∠BAE=∠AEB=∠CED=∠CDE=45°
作EF⊥AD于F,则AF=DF
∴BE=CE=AF=DF=EF=AB=1,
（1）求证：平面A1DE⊥平面A1AE
∵DE在平面A1DE上,AE在平面A1AE上,AEA1恰为二面角A1-ED-A的平面角
∴AE⊥DE,∴平面A1DE⊥平面A1AE
（2）求三棱锥E-ADA1的体积
∵AA1=√2,AD=2AF=2,∴SRt⊿A1AE=（2×√2）/2=√2=
EF是三棱锥E-ADA1的高,EF=1
V E-ADA1=S Rt⊿A1AE×EF/3=√2×1/3=0.4714
D1
C1
D
A1 45° 45° C
F B1 90° 45°
45° 45° E
A
B

1） AEA1恰为二面角A1-ED-A的平面角，且DE为公共棱，故AE垂直DE ,A1E垂直DE,AE交A1E於E点，即DE垂直平面AA1E,又DE包含於平面A1DE,故平面A1DE垂直平面A1AE,
2），三棱锥E-ADA1的体积就是以三角形AA1D为底面积的三棱锥，故求出高即可，过E做EH垂直AD於H点，易得EH垂直AD,又EH//AB,AB垂直AA1,故EH垂直AA1,即EH即为高，...

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1) 因为∠AEA1为二面角A1-ED-A的平面角

所以∠AEA1的两边AE、A1E都垂直于平面A1DE和平面ADE的交线，DE

即AE、A1E⊥DE

则有平面A1AE⊥DE

由于DE在平面A1DE上，所以由DE⊥平面A1AE得平面A1DE⊥平面A1AE

2) 过E作EF⊥AD于F

E是BC中点，有BE=BC/2=m/2

由∠FAB=∠ABE=∠AFE=90°得四边形ABEF为矩形，则EF=AB=1，AF=BE=m/2

上一小题已证AE⊥DE，即△ADE是直角三角形，∠AED=90°

又AF=m/2=AD/2，即F是AD中点，EF是Rt△ADE斜边上的中线

所以AD=2EF=2*1=2

由于平面ABCD⊥平面ADD1A1，EF在平面ABCD上

所以EF⊥平面AA1D，即EF是三棱柱E-ADA1在底面AA1D上的的高

所以V三棱柱E-ADA1=S△A1AD*EF/3=AA1*AD/2*EF/3

=√2*2/2*1/3=√2/3