作业帮在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,PD⊥CD,底面ABCD是直角三角形,AB//CD,∠ADC=90°,AB=AD=PD=1,CD=2（1）求证：BC⊥平面PBD（2）设Q为侧棱PC上一点,向量PQ=λ向量PC,试确定λ的值,使得二面角Q-BD-P为45°
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/15 19:31:01
在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,PD⊥CD,底面ABCD是直角三角形,AB//CD,∠ADC=90°,AB=AD=PD=1,CD=2（1）求证：BC⊥平面PBD（2）设Q为侧棱PC上一点,向量PQ=λ向量PC,试确定λ的值,使得二面角Q-BD-P为45°
在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,PD⊥CD,底面ABCD是直角三角形,AB//CD,∠ADC=90°,AB=AD=PD=1,CD=2
（1）求证：BC⊥平面PBD
（2）设Q为侧棱PC上一点,向量PQ=λ向量PC,试确定λ的值,使得二面角Q-BD-P为45°
在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,PD⊥CD,底面ABCD是直角三角形,AB//CD,∠ADC=90°,AB=AD=PD=1,CD=2（1）求证：BC⊥平面PBD（2）设Q为侧棱PC上一点,向量PQ=λ向量PC,试确定λ的值,使得二面角Q-BD-P为45°
(1)
已知 ABCD是直角梯形,AB=AD=1,CD=2,AB//CD,AD⊥AB
易证 角C=45度,BCD是等腰直角三角形,角CBD=90度,即 BC⊥BD
因为 面PAD⊥底面ABCD,PD⊥CD
所以 PD⊥底面ABCD,
所以 PD⊥BC
所以 BC⊥面PBD
(2)
因为 PD⊥面ABCD,
所以 面PBD⊥面ABCD ,面PCD⊥面ABCD
过Q做QM⊥DC,M是DC上交点
过M做MN⊥BD,N是BD上交点
则 二面角Q-BD-P=90度 － 角QNM
若 二面角Q-BD-P=45度,
那么 角QNM=45度,QM=MN
已知 △PDC和△QMC 中 PD=1,CD=2,QC=(1-λ)PC
得 QM=(1-λ)PD=1-λ,DM=λ*CD
因此 MN=λ*BC=λ√2
因此 1-λ=λ√2
所以 λ=√2-1
即 λ=√2-1 时,二面角Q-BD-P为45°