一道高数问题：∫（1+√x)^100dx,

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/13 07:13:32

一道高数问题：∫（1+√x)^100dx,
一道高数问题：∫（1+√x)^100dx,

一道高数问题：∫（1+√x)^100dx,
a=√x
x=a^2
dx=2ada
原式=2∫a(1+a)^100da
=2∫a(1+a)^100d(1+a)
=2/101*∫ad(1+a)^101
=2/101*a(1+a)^101-2/101*∫(1+a)^101da
=2/101*a(1+a)^101-2/(101*102)*(1+a)^102+C
=2/101*√x(1+√x)^101-1/5151*(1+√x)^102+C

令t=√x，则dx=2tdt
原式=∫ （1+t）^100*2tdt=∫2t d[（1+t）^101]/101
=[2t(1+t)^101]/101-(2/101)∫ (1+t)^101dt=[2t(1+t)^101]/101-(2/101)*[(1+t)^102]/102 +C

此题可使用换元法，设√x=t，则x=t^2,dx=d(t^2)=2dt,∫(1+√x)^100dx=2∫(1+t)^100dt=(2／101)(1+t)^101+c=(2／101)(1+√x)^101+c

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