如图在等边三角形ABC内接于圆 P为BC上任意一点求证AP=BP+CP

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 18:48:10

如图在等边三角形ABC内接于圆 P为BC上任意一点求证AP=BP+CP
如图在等边三角形ABC内接于圆 P为BC上任意一点求证AP=BP+CP

如图在等边三角形ABC内接于圆 P为BC上任意一点求证AP=BP+CP
证明：
在AP上截取AD=PC
∵AB=BC,AD=CP,∠BAD=∠PCB
∴△ABD≌△CBP
∴BD=BP
∵△ABC是等边三角形
∴∠ACB=60°
∴∠BPD=∠ACB=60°
∴△BPD是等边三角形
∴PD=BP
∴AP=AD+PD=PB+PC

全部展开

P为BC上任意一点，应该是：P为弧BC上任意一点。
方法一：
∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC。
∵ABPC是圆内接四边形，∴由托勒密定理，有：BC×AP＝AC×BP＋AB×CP，
∴AB×AP＝AB×BP＋AB×CP，∴AP＝BP＋CP。
方法二：
在AP上取一点D，使PD＝CP。
∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC、∠ABC＝∠ACB＝60°。
∵A、B、P、C共圆，∴∠APB＝∠ACB＝60°、∠APC＝∠ABC＝60°，∴∠BPC＝120°。
∵∠CPD＝60°、PD＝CP，∴△PCD是等边三角形，∴CD＝DP＝PC、∠ADC＝120°。
∵A、B、P、C共圆，∴∠PBC＝∠DAC，又BC＝AC、∠BPC＝∠ADC＝120°，
∴△BPC≌△ADC，∴BP＝AD。
显然有：AP＝AD＋DP，而AD＝BP、DP＝CP，∴AP＝BP＋CP。

收起

已知正三角形ABC,P为弧BC上的任一点，求证: AP=BP+PC

证明：

做PG=PC, ∴∠3=∠PCG

∵△ABC为正三角形

∴∠1=∠2=60°（同圆中同弦所对应的圆周角相等或互补）

又∵∠3=∠PCG

∴∠3=∠2=∠PCG

△AGC≌△BPC (边角边定理)

PC=CG(做图得)

∠BCP=∠ACG=60°-公共角∠GCB

AC=BC (已知)

∴BP=AG

∴AP=BP+PC

如图 在等边三角形ABC内接于圆 P为BC上任意一点 求证AP=BP+CP

如图在等边三角形ABC内接于圆 P为BC上任意一点求证AP=BP+CP