100分 已知函数f(x)=x2+x/2+alnx(x＞0),f(x)的导函数是f'（x）,对任意两个已知函数f(x)=x2+ +alnx(x＞0),f(x)的导函数是f'（x）,对任意两个不相等的正数x1,x2,证明：（1）当a≤0时,1/2f（x1)+1/2f（x2） >f(1/2x1+

100分 已知函数f(x)=x2+x/2+alnx(x＞0),f(x)的导函数是f'（x）,对任意两个已知函数f(x)=x2+ +alnx(x＞0),f(x)的导函数是f'（x）,对任意两个不相等的正数x1,x2,证明：（1）当a≤0时,1/2f（x1)+1/2f（x2） >f(1/2x1+
100分 已知函数f(x)=x2+x/2+alnx(x＞0),f(x)的导函数是f'（x）,对任意两个
已知函数f(x)=x2+ +alnx(x＞0),f(x)的导函数是f'（x）,对任意两个不相等的正数x1,x2,证明：
（1）当a≤0时,1/2f（x1)+1/2f（x2） >f(1/2x1+1/2x2)；
（2）当a≤4时,│f′(x1)-f′(x2)│>│x1-x2│ .
要分析（可稍微写一点）和过程（必须要）答得好还会给你加
已知函数f(x)=x2+x/2+alnx(x＞0)，f(x)的导函数是f'（x），对任意两个不相等的正数x1，x2，证明：
（1）当a≤0时，1/2f（x1)+1/2f（x2） >f(1/2x1+1/2x2)；
（2）当a≤4时，│f′(x1)-f′(x2)│>│x1-x2│
这是原题 刚才f(x)=x2+x/2+alnx中少了x/2，抱歉！

100分 已知函数f(x)=x2+x/2+alnx(x＞0),f(x)的导函数是f'（x）,对任意两个已知函数f(x)=x2+ +alnx(x＞0),f(x)的导函数是f'（x）,对任意两个不相等的正数x1,x2,证明：（1）当a≤0时,1/2f（x1)+1/2f（x2） >f(1/2x1+
以下是正确解答,哥们第二问的答案我会发你邮箱的（我认得你）!

（1）当a≤0时，f(x1)/2+f(x2)/2>f(x1/2+x2/2)；
f(x)=x^2+x/2+aln[x](x＞0)，
f(x1)=x1^2+x1/2+aln[x1]；
f(x2)=x2^2+x2/2+aln[x2]；
f(x1/2+x2/2)=(x1+x2)^2/4+(x1+x2)/4+aln[(x1+x2)/2]；
f(x1)/2+f(x2)...

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（1）当a≤0时，f(x1)/2+f(x2)/2>f(x1/2+x2/2)；
f(x)=x^2+x/2+aln[x](x＞0)，
f(x1)=x1^2+x1/2+aln[x1]；
f(x2)=x2^2+x2/2+aln[x2]；
f(x1/2+x2/2)=(x1+x2)^2/4+(x1+x2)/4+aln[(x1+x2)/2]；
f(x1)/2+f(x2)/2
=(x1^2+x2^2)/2+(x1+x2)/4+aln[(x1x2)^(1/2)]；
∵x1≠x2，且>0
∴2(x1^2+x2^2)>(x1+x2)^2
∴(x1^2+x2^2)/2>(x1+x2)^2/4
∵(x1*x2)^(1/2)<(x1+x2)/2
∴ln[(x1x2)^(1/2)]∵a≤0
∴aln[(x1x2)^(1/2)]>aln[(x1+x2)^2/2]
∴(x1^2+x2^2)/2+(x1+x2)/4+aln[(x1x2)^(1/2)]> (x1+x2)^2/4+(x1+x2)/4+aln[(x1+x2)/2]
即：f(x1)/2+f(x2)/2> f(x1/2+x2/2)
故得证。
（2）当a≤4时，│f′(x1)-f′(x2)│>│x1-x2│ 。
f(x)=x^2+x/2+aln[x](x＞0)
f’(x)=2x+1/2+a/x
f’(x1)= 2x1+1/2+a/x1；
f’(x2)= 2x2+1/2+a/x2；
取a=3，x1=2，x2=1
f(2)=4+1/2+3/2
f(1)=2+1/2+3
| f’(x1)- f’(x2)|=|2-3/2|=1/2<|2-1|
不成立，题目有误吧。

收起

笨

已知函数f(x)=x^2+x/2+alnx(x＞0)，f(x)的导函数是f'（x），对任意两个不相等的正数x1，x2，证明：
（1）当a≤0时，1/2f（x1)+1/2f（x2） >f(1/2x1+1/2x2)；
（2）当a≤4时，│f′(x1)-f′(x2)│>│x1-x2│ 。
f'(x) = 2x +1/2 + a/x, x > 0.
f''(x) = ...

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已知函数f(x)=x^2+x/2+alnx(x＞0)，f(x)的导函数是f'（x），对任意两个不相等的正数x1，x2，证明：
（1）当a≤0时，1/2f（x1)+1/2f（x2） >f(1/2x1+1/2x2)；
（2）当a≤4时，│f′(x1)-f′(x2)│>│x1-x2│ 。
f'(x) = 2x +1/2 + a/x, x > 0.
f''(x) = 2 - a/x^2 x > 0.
（1）当 a≤0时， f''(x) = 2-a/x^2 > 0.
函数f(x)为严格下凸函数。
因此，对于任意两个不相等的正数x1，x2，总有，
[f(x1) + f(x2)]/2 > f[(x1+x2)/2].
也就是，
1/2f（x1)+1/2f（x2） > f(1/2x1+1/2x2）
(2) 当 a≤4时， f''(x) = 2 - a/x^2。
对任意两个不相等的正数x1，x2，不妨设 0 < x1 < x2.
由拉格朗日中值定理， 一定存在一个正数 c, 0 < x1 < c < x2,
使得，[f'(x1) - f'(x2)]/(x1-x2) = f''(c) = 2 - a/c^2.

当 a≤0时,f''(c) >= 2.
因此，有 |[f'(x1) - f'(x2)]/(x1-x2)| = |f''(c)| = f''(c) >=2 > 1,
所以，有 |f'(x1) - f'(x2)|/|x1-x2| > 1,
|f'(x1) - f'(x2)| > |x1-x2| 成立。
当 0 < a <=4 时，
2 - a/(x1)^2 < f''(c) = 2 - a/c^2 < 2 - a/(x2)^2
若 2 - a/(x1)^2 >= 1, 1 >= a/(x1)^2 , (x1)^2 >= a, x1 >= a^(1/2),
则有，f''(c) = 2 - a/c^2 > 2 - a/(x1)^2 > 2 - a/a = 1.
因此，当 0 < a^(1/2) <= x1 < x2时，总有
|[f'(x1) - f'(x2)]/(x1-x2)| = |f''(c)| = f''(c) > 1,
所以，有 |f'(x1) - f'(x2)|/|x1-x2| > 1,
|f'(x1) - f'(x2)| > |x1-x2| 成立。
若 2 - a/(x2)^2 <= -1, 3 <= a/(x2)^2, (x2)^2 <= a/3, x2 <= (a/3)^(1/2).
则有，f''(c) = 2 - a/c^2 < 2 - a/(x2)^2 <= 2 - a/(a/3) = -1.

因此，当 0 < x1 < x2 <= (a/3)^(1/2) 时，总有
|[f'(x1) - f'(x2)]/(x1-x2)| = |f''(c)| = -f''(c) > 1,
所以，有 |f'(x1) - f'(x2)|/|x1-x2| > 1,
|f'(x1) - f'(x2)| > |x1-x2| 成立。
若 2 - a/(x1)^2 >= -1, 且 2 - a/(x2)^2 <= 1.
3 >= a/(x1)^2, 且 1 <= a/(x2)^2,
x1 >= (a/3)^(1/2)， 且 x2 <= a^(1/2).
则总有，f''(c) = 2 - a/c^2 > 2 - a/(x1)^2 >= 2 - a/(a/3) = -1.
且 f''(c) = 2 - a/c^2 < 2 - a/(x2)^2 <= 2 - a/(a) = 1.
-1 < f''(c) < 1.
因此，当0 总有
|[f'(x1) - f'(x2)]/(x1-x2)| = |f''(c)| < 1,
所以，有 |f'(x1) - f'(x2)|/|x1-x2| < 1,
|f'(x1) - f'(x2)| < |x1-x2| 成立。
此时，命题不成立。
反例1，a = 1, x1 = 2/3, x2 = 1
f'(x) = 2x +1/2 + a/x = 2x + 1/2 + 1/x.
f'(x1) = f(2/3) = 4/3 + 1/2 + 3/2 = 10/3
f'(x2) = f(1) = 2 + 1/2 + 1 = 7/2
f'(x1) - f'(x2) = 10/3 - 7/2 = -1/6.
x1 - x2 = 2/3 - 1 = -1/3.
显然，有 1/6 = |-1/6| = |f'(x1) - f'(x2)| < |x1 - x2| = |-1/3| = 1/3.
与命题矛盾。
反例2，a = 4, x1 = 4/3, x2 = 2
f'(x) = 2x +1/2 + a/x = 2x + 1/2 + 1/x.
f'(x1) = f(4/3) = 8/3 + 1/2 + 3 = 37/6
f'(x2) = f(2) = 4 + 1/2 + 2 = 13/2
f'(x1) - f'(x2) = 37/6 - 13/2 = -2/6 = -1/3.
x1 - x2 = 4/3 - 2 = 2/3.
显然，有 1/3 = |f'(x1) - f'(x2)| < |x1 - x2| = 2/3.
与命题矛盾。

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∵x1≠x2，且>0
∴2(x1^2+x2^2)>(x1+x2)^2
∴(x1^2+x2^2)/2>(x1+x2)^2/4
∵(x1*x2)^(1/2)<(x1+x2)/2
∴ln[(x1x2)^(1/2)]∵a≤0
∴aln[(x1x2)^(1/2)]>aln[(x1+x2)^2/2]

2006年高考试题四川卷理科数学试题最后一题！

应该是2/x

（1）当a≤0时，f(x1)/2+f(x2)/2>f(x1/2+x2/2)；
f(x)=x^2+x/2+aln[x](x＞0)，
f(x1)=x1^2+x1/2+aln[x1]；
f(x2)=x2^2+x2/2+aln[x2]；
f(x1/2+x2/2)=(x1+x2)^2/4+(x1+x2)/4+aln[(x1+x2)/2]；
f(x1)/2+f...

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（1）当a≤0时，f(x1)/2+f(x2)/2>f(x1/2+x2/2)；
f(x)=x^2+x/2+aln[x](x＞0)，
f(x1)=x1^2+x1/2+aln[x1]；
f(x2)=x2^2+x2/2+aln[x2]；
f(x1/2+x2/2)=(x1+x2)^2/4+(x1+x2)/4+aln[(x1+x2)/2]；
f(x1)/2+f(x2)/2
=(x1^2+x2^2)/2+(x1+x2)/4+aln[(x1x2)^(1/2)]；
∵x1≠x2，且>0
∴2(x1^2+x2^2)>(x1+x2)^2
∴(x1^2+x2^2)/2>(x1+x2)^2/4
∵(x1*x2)^(1/2)<(x1+x2)/2
∴ln[(x1x2)^(1/2)]∵a≤0
∴aln[(x1x2)^(1/2)]>aln[(x1+x2)^2/2]
（2）当 0 f''（x）=2-a/(x^2)不再恒大于0或者恒小于0
若f′(x)在增区间，则证明方法同上
若f′(x)在减区间，则f''（x）=2-a/(x^2)<0
要证明f′(x1)-f′(x2)2（x1-x2)+a(1/x1-1/x2)即（x1-x2)+a(1/x1-1/x2)<0
即要证明 x1-x2<(a/x2-a/x1)
即 x1+a/x1设y=x+a/x y′=1-a/x^2 此时 0y′<-1<0 y是区间内减函数 所以x1+a/x1

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太难了

1.此问题即是要证明此函数当a<=0时时 凹函数
要证明此问题 只需要 证明 f'（x）的导数恒大于0
f'（x）=2x+1/2+a/x 而f''（x）=2-a/(x^2) >0
证毕
2.令
令 x1>x2>0
（1）当a<=0时,因为f''（x）=2-a/(x^2) >0
则f′(x)为增函数，
不等式变为 f′(...

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1.此问题即是要证明此函数当a<=0时时 凹函数
要证明此问题 只需要 证明 f'（x）的导数恒大于0
f'（x）=2x+1/2+a/x 而f''（x）=2-a/(x^2) >0
证毕
2.令
令 x1>x2>0
（1）当a<=0时,因为f''（x）=2-a/(x^2) >0
则f′(x)为增函数，
不等式变为 f′(x1)-f′(x2)>x1-x2
设函数y=f′(x)-x
y′=f''（x）-1=1-a/(x^2)>0
所以y是增函数
所以有 f′(x1)-f′(x2)>x1-x2 成立
（2）当 0 f''（x）=2-a/(x^2)不再恒大于0或者恒小于0
若f′(x)在增区间，则证明方法同上
若f′(x)在减区间，则f''（x）=2-a/(x^2)<0
要证明f′(x1)-f′(x2)2（x1-x2)+a(1/x1-1/x2)即（x1-x2)+a(1/x1-1/x2)<0
即要证明 x1-x2<(a/x2-a/x1)
即 x1+a/x1设y=x+a/x y′=1-a/x^2 此时 0y′<-1<0 y是区间内减函数 所以x1+a/x1 如果不是在同一区间 请楼主自己 带入 x1+a/x1

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