作业帮求证：sinx/x>(cosx)^(1/3) (0
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 21:08:32
求证：sinx/x>(cosx)^(1/3) (0
求证：sinx/x>(cosx)^(1/3) (0
求证：sinx/x>(cosx)^(1/3) (0
首先明确一点：
在x∈(0,∏/2)上有 sinx＜x＜tanx 这由图像易知
令f(x)=sinx/x g(x)=(cosx)^(1/3)
∴f'(x)=(xcosx-sinx)/x²＜0
g'(x)=1/3cosx^(-2/3)＞0
而当x趋向于0时,limf(x)=limg(x)=1
∴f(x)＞g(x),x∈(0,∏/2)
设f(x)=(sinx)^3-(x^3)cosx
f'(x)=3(sinx)^2cosx-3x^2cosx+x^3sinx
=3cosx[(sinx)^2-x^2]+x^3sinx
f''(x)= ……
f'''(x)=……
这里就不写了，通过f'''>0，得出f''单调增，得出f''>0,从而得出f'>0,
再根据f'>0得出f(x)单调增，所以得...
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设f(x)=(sinx)^3-(x^3)cosx
f'(x)=3(sinx)^2cosx-3x^2cosx+x^3sinx
=3cosx[(sinx)^2-x^2]+x^3sinx
f''(x)= ……
f'''(x)=……
这里就不写了，通过f'''>0，得出f''单调增，得出f''>0,从而得出f'>0,
再根据f'>0得出f(x)单调增，所以得出f(x)>f(0)=0
从而得出(sinx)^3>(x^3)cosx
然后除过去再开三次方即得所要证明的结论。这里要多求几次导。自已验证一下吧。
收起
x/sinx-cosx^3=sinx^2x/sinx^2-cosx^3/sinx^2=sinx^2x-(1-sinx^2)cosx/sinx^2=(sinx^2x-1+sinx^2cosx)/sinx^2=[sinx^2(x-cosx)-1]/sinx^2=x-cosx-1/sinx^2=x-cosx+1+cotx^2 因为x-cosx恒小于0在(0