高中函数教案/讲解过程中应该注意什么问题~

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函数 目录·简介·复合函数·反函数·隐函数·多元函数·二次函数·一次函数·三角函数·函数概念的发展历史简介在数学领域,函数是一种关系,这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素.（这只是一元函数f（x）＝y的情况,请按英文原文把普遍定义给出,谢谢）.----A variable so related to another that for each value assumed by one there is a value determined for the other. 应变量,函数一个与他量有关联的变量,这一量中的任何一值都能在他量中找到对应的固定值.----A rule of correspondence between two sets such that there is a unique element in the second set assigned to each element in the first set. 函数两组元素一一对应的规则,第一组中的每个元素在第二组中只有唯一的对应量.函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的.functions 　　数学中的一种对应关系,是从某集合A到实数集B的对应.简单地说,甲随着乙变,甲就是乙的函数 .精确地说,设X是一个不空集合,Y是某个实数集合 ,f是个规则 , 若对X中的每个x,按规则f,有Y中的一个y与之对应 , 就称f是X上的一个函数,记作y＝f（x）,称X为函数f（x）的定义域,Y为其值域,x叫做自变量,y为因变量. 　　例1：y＝sinx X＝［0,2π］,Y＝［－1,1］ ,它给出了一个函数关系.当然 ,把Y改为Y1＝（a,b） ,a＜b为任意实数,仍然是一个函数关系. 其深度y与一岸边点 O到测量点的距离 x 之间的对应关系呈曲线,这代表一个函数,定义域为［0,b］.以上3例展示了函数的三种表示法：公式法 , 表格法和图像法. 　　复合函数有3个变量,y是u的函数,y＝ψ（u）,u是x的函数,u＝f（x）,往往能形成链：y通过中间变量u构成了x的函数： 　　x→u→y,这要看定义域：设ψ的定义域为U . f的值域为U,当U*ÍU时,称f与ψ 构成一个复合函数 , 例如 y＝lgsinx,x∈（0,π）.此时sinx＞0 ,lgsinx有意义 .但如若规定x∈（－π,0）,此时sinx＜0 ,lgsinx无意义 ,就成不了复合函数. 　　反函数就关系而言,一般是双向的 ,函数也如此 ,设y＝f（x）为已知的函数,若对每个y∈Y,有唯一的x∈X,使f（x）＝y,这是一个由y找x的过程 ,即x成了y的函数 ,记为x＝f -1（y）.称f -1为f的反函数.习惯上用x表示自变量 ,故这个函数仍记为y＝f -1（x） ,例如 y＝sinx与y＝arcsinx 互为反函数.在同一坐标系中,y＝f（x）与y＝f -1（x）的图形关于直线y＝x对称. 　　隐函数若能由函数方程 F（x,y）＝0 确定y为x的函数y＝f（x）,即F（x,f（x））≡0,就称y是x的隐函数. 　　多元函数设点（x1,x2,…,xn） ∈GÍRn,UÍR1 ,若对每一点（x1,x2,…,xn）∈G,由某规则f有唯一的 u∈U与之对应：f：G→U,u＝f（x1,x2,…,xn）,则称f为一个n元函数,G为定义域,U为值域. 　　基本初等函数及其图像 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数. 　　①幂函数：y＝xμ（μ≠0,μ为任意实数）定义域：μ为正整数时为（－∞,＋∞）,μ为负整数时是（－∞,0）∪（0,＋∞）；μ＝(α为整数),当α是奇数时为（ －∞,＋∞）,当α是偶数时为（0,＋∞）；μ＝p／q,p,q互素,作为的复合函数进行讨论.略图如图2、图3. ②指数函数：y＝ax（a＞0 ,a≠1）,定义成为（ －∞,＋∞）,值域为（0 ,＋∞）,a＞0 时是严格单调增加的函数（ 即当x2＞x1时,） ,0＜a＜1 时是严格单减函数.对任何a,图像均过点（0,1）,注意y＝ax和y＝（）x的图形关于y轴对称.如图4. ③对数函数：y＝logax（a＞0）, 称a为底 , 定义域为（0,＋∞）,值域为（－∞,＋∞） .a＞1 时是严格单调增加的,0＜a＜1时是严格单减的.不论a为何值,对数函数的图形均过点（1,0）,对数函数与指数函数互为反函数 .如图5. 以10为底的对数称为常用对数 ,简记为lgx .在科学技术中普遍使用的是以e为底的对数,即自然对数,记作lnx. ④三角函数：见表2. 正弦函数、余弦函数如图6,图7所示. ⑤反三角函数：见表3.双曲正、余弦如图8. ⑥双曲函数：双曲正弦（ex－e-x）,双曲余弦（ex＋e-x）,双曲正切（ex－e-x）／（ex＋e-x） ,双曲余切（ ex＋e-x）／（ex－e-x）. [编辑]补充在数学领域,函数是一种关系,这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素（这只是一元函数f（x）＝y的情况,请按英文原文把普遍定义给出,谢谢）.函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的. 术语函数,映射,对应,变换通常都是同一个意思.
3. 注意下列性质：

要知道它的来历：若B为A的子集,则对于元素a1来说,有2种选择（在或者不在）.同样,对于元素a2, a3,……an,都有2种选择,所以,总共有 种选择, 即集合A有 个子集.
当然,我们也要注意到,这 种情况之中,包含了这n个元素全部在何全部不在的情况,故真子集个数为 ,非空真子集个数为

（3）德摩根定律：

有些版本可能是这种写法,遇到后要能够看懂

4. 你会用补集思想解决问题吗?（排除法、间接法）

的取值范围.

注意,有时候由集合本身就可以得到大量信息,做题时不要错过； 如告诉你函数f(x)=ax2+bx+c(a>0) 在 上单调递减,在 上单调递增,就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者,我说在上 ,也应该马上可以想到m,n实际上就是方程 的2个根
5、熟悉命题的几种形式、



命题的四种形式及其相互关系是什么?
（互为逆否关系的命题是等价命题.）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假.
6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）
满足条件 , 满足条件 ,
若 ；则 是 的充分非必要条件 ；
若 ；则 是 的必要非充分条件 ；
若 ；则 是 的充要条件 ；
若 ；则 是 的既非充分又非必要条件 ；

7. 对映射的概念了解吗?映射f：A→B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射?
（一对一,多对一,允许B中有元素无原象.）
注意映射个数的求法.如集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,则从A到B的映射个数有nm个.
如：若 , ；问： 到 的映射有 个, 到 的映射有 个； 到 的函数有 个,若 ,则 到 的一一映射有 个.
函数 的图象与直线 交点的个数为 个.
8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同?
（定义域、对应法则、值域）
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)
9. 求函数的定义域有哪些常见类型?

函数定义域求法：
分式中的分母不为零；
偶次方根下的数（或式）大于或等于零；
指数式的底数大于零且不等于一；
对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零.
正切函数
余切函数
反三角函数的定义域
函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1]　 ,值域是 ,函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1] ,值域是 [0, π] ,函数y＝arctgx的定义域是 R ,值域是 .,函数y＝arcctgx的定义域是 R ,值域是 (0, π) .
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时,先分别求出满足每一个条件的自变量的范围,再取他们的交集,就得到函数的定义域.
10. 如何求复合函数的定义域?

义域是_____________.