作业帮在棱长都等于一的三棱锥A-BCD中,F是AC上的一点,过F作平行于棱AB和棱CD的截面,分别叫BC,BD,AD于E,H,G.证明截面EFGH是矩形.F在AC的什么位置时,截面面积最大,说明理由
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 04:12:15
在棱长都等于一的三棱锥A-BCD中,F是AC上的一点,过F作平行于棱AB和棱CD的截面,分别叫BC,BD,AD于E,H,G.证明截面EFGH是矩形.F在AC的什么位置时,截面面积最大,说明理由
在棱长都等于一的三棱锥A-BCD中,F是AC上的一点,过F作平行于棱AB和棱CD的截面,分别叫BC,BD,AD于E,H,G.
证明截面EFGH是矩形.F在AC的什么位置时,截面面积最大,说明理由
在棱长都等于一的三棱锥A-BCD中,F是AC上的一点,过F作平行于棱AB和棱CD的截面,分别叫BC,BD,AD于E,H,G.证明截面EFGH是矩形.F在AC的什么位置时,截面面积最大,说明理由
取CD中点M,连结AN,BM,
因各棱=1,故三棱锥是各面均为正三角形的正四面体,
AM⊥CD,BM⊥CD,
CD⊥平面ABM,
AB∈平面ABM,
CD⊥AB,
FE‖AB,FG‖CD,
∴FE⊥FG,
AB‖EF,
EF∈平面ABD,
AB‖平面ABD,
平面FEHG∩平面ABD=GH,
∴EF‖GH,
同理可证FG‖EH,
∴四边形FEHG是平行四边形,
又EF⊥FG,
∴四边形FEHG是矩形.
EF‖AB,三角形CFE是正三角形,EF=CF,
同理AF=FG,
S矩形FEGH=EF*FG=CF*AF,
设CF=x,AF=AC-x=1-x,
S矩形FEGH=x(1-x)=-(x^2-x+1/4-1/4)
=-(x-1/2)^2+1/4,
当x=1/2时有极大值,
故F在AC的中点时截面面积最大.
FG//CD,-->FG//BCD--->FG//EH,
同理,FE//GH,所以FGHE是平行四边形,
因为棱长都等于1,所以A在BCD上的射影O为正三角形BCD的中心，BO垂直CD，BO为AB在BCD上的射影，所以由三垂线定理，CD垂直AB，而FG//CD，FE//AB，所以FG垂直FE，FGHE又是矩形。
AFG相似ACD，FG=AF，同理，EF=CF，
截面...
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FG//CD,-->FG//BCD--->FG//EH,
同理,FE//GH,所以FGHE是平行四边形,
因为棱长都等于1,所以A在BCD上的射影O为正三角形BCD的中心，BO垂直CD，BO为AB在BCD上的射影，所以由三垂线定理，CD垂直AB，而FG//CD，FE//AB，所以FG垂直FE，FGHE又是矩形。
AFG相似ACD，FG=AF，同理，EF=CF，
截面EFGH面积=FG*EF=AF*CF=AF*（1-AF）
根据“两数和为定值，则两数之积有最大值，当且仅当两数相等时，积最大”，
AF=1-AF，AF=1/2，F为AC之中点时，截面面积最大
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