求微分方程y''=y'e^y满足条件y(0)=0,y'(0)=1的解

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 08:14:14

求微分方程y''=y'e^y满足条件y(0)=0,y'(0)=1的解
求微分方程y''=y'e^y满足条件y(0)=0,y'(0)=1的解

求微分方程y''=y'e^y满足条件y(0)=0,y'(0)=1的解
这是一个不显含y的二阶微分方程.令y'=p,则y''=dp/dx=dp/dy×dy/dx＝p*dp/dy,代入原方程,得p*dp/dy=p*e^y.
因为初始条件中y'(0)=1,即p=1,所以p≠0.
两边消去p得dp=e^ydy,两边积分p=e^y+C1,所以y'=p=e^y+C1.
代入初始条件得C1=0,所以y'=e^y.
所以e^(-y)dy=dx,两边积分-e^(-y)=x+C2.
代入初始条件,得C2=-1.
所以-e^(-y)=x-1或写作y=-ln(1-x).

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