作业帮紧急直线l与抛物线y²=x交于点A（x1,y1）B（x2,y2）两点,与x轴相交于点M,且y1y2=-1(1）求证：M点的坐标为（1,0）（2）求证：OA垂直OB（3）求三角形AOB的面积和最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 18:17:46
紧急直线l与抛物线y²=x交于点A（x1,y1）B（x2,y2）两点,与x轴相交于点M,且y1y2=-1(1）求证：M点的坐标为（1,0）（2）求证：OA垂直OB（3）求三角形AOB的面积和最小值
紧急
直线l与抛物线y²=x交于点A（x1,y1）B（x2,y2）两点,与x轴相交于点M,且y1y2=-1
(1）求证：M点的坐标为（1,0）
（2）求证：OA垂直OB
（3）求三角形AOB的面积和最小值
紧急直线l与抛物线y²=x交于点A（x1,y1）B（x2,y2）两点,与x轴相交于点M,且y1y2=-1(1）求证：M点的坐标为（1,0）（2）求证：OA垂直OB（3）求三角形AOB的面积和最小值
设直线l（即AB所在的直线）的方程y=kx+b,x=(y-b)/k
满足y^2-y/k+b/k=0
y1y2=b/k=-1
所以,b=-k
y=k(x-1)
由于直线l与x轴有交点,k≠0
所以,y=0时,x=1
(1) 由上分析计算可知,M点的坐标为M(1,0)
(2) OA直线的斜率koa=y1/x1=1/y1,(x1≠0)
OB直线的斜率kob=y2/x2=1/y2,(x2≠0)
koa*kob=1/(y1*y2)=-1
所以,OA垂直于OB
(3) 方法一、
因为OA⊥OB
所以,SΔoab=(1/2)*|OA|*|OB|=|y1y2|{√[(y1^2+1)(1+y2^2)]}/2
=[√(2+x1+x2)]/2
由（1）可知,y1+y2=1/k,|OM|=1
x1+x2=2+1/k^2
SΔoab=[√(4+1/k^2)]/2,
k为直线AB的斜率,当k=∞,即AB⊥OM时,1/k^2=0,SΔoab=√4/2=1
方法二、
SΔoab=(1/2)|OM|*(|y1|+|y2|)≤√(|y1||y2|)=√|y1y2|=1
当且仅当y1=y2时,三角形AOB面积有最小值1.此时,MB=MA,MAB三点共线
三角形OAB为等腰直角三角形,OA=OB.MA=MB=OM