第三次数学危机过去了吗

第三次数学危机过去了吗
第三次数学危机过去了吗

第三次数学危机过去了吗
第三次数学危机
悖 论 的 产 生 --- 第 三 次 数 学 危 机
数学史上的第三次危机,是由1897年的突然冲击而出现的,到现在,从整体来看,还没有解决到令人满意的程度.这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的.由于集合概念已经渗透到众多的数学分支,并且实际上集合论成了数学的基础,因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑.
1897年,福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论.两年后,康托发现了很相似的悖论.1902年,罗素又发现了一个悖论,它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念.罗素悖论曾被以多种形式通俗化.其中最著名的是罗素于1919年给出的,它涉及到某村理发师的困境.理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸,并且,只给村里这样的人刮脸.当人们试图回答下列疑问时,就认识到了这种情况的悖论性质："理发师是否自己给自己刮脸?"如果他不给自己刮脸,那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸,那么他就不符合他的原则.
罗素悖论使整个数学大厦动摇了.无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后,在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷末尾写道："一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了,即在工作完成之时,它的基础垮掉了,当本书等待印出的时候,罗素先生的一封信把我置于这种境地".于是终结了近12年的刻苦钻研.
承认无穷集合,承认无穷基数,就好像一切灾难都出来了,这就是第三次数学危机的实质.从此,数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法,其中之一是把集合论建立在一组公理之上,以回避悖论.首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗,他提出七条公理,建立了一种不会产生悖论的集合论,又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进,形成了一个无矛盾的集合论公理系统.即所谓ZF公理系统.这场数学危机到此缓和下来.数学危机给数学发展带来了新的动力.在这场危机中集合论得到较快的发展,数学基础的进步更快,数理逻辑也更加成熟.然而,矛盾和人们意想不到的事仍然不断出现,而且今后仍然会这样.尽管悖论可以消除,矛盾可以解决,然而数学的确定性却在一步一步地丧失.现代公理集合论的大堆公理,简直难说孰真孰假,可是又不能把它们都消除掉,它们跟整个数学是血肉相连的.所以,第三次危机表面上解决了,实质上更深刻地以其它形式延续

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第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾。
我从很早以前就读过“理发师悖论”，就是一位理发师给不给自己理发的人理发。那么理发师该不该给自己理发呢？还有大家熟悉的“说谎者悖论”，其大体内容是：一个克里特人说：“所有克里特人说的每一句话都是谎话。”试问这句话是真还是假?从数学上来说，这就是罗素悖论的一个具体例子。
罗...

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第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾。
我从很早以前就读过“理发师悖论”，就是一位理发师给不给自己理发的人理发。那么理发师该不该给自己理发呢？还有大家熟悉的“说谎者悖论”，其大体内容是：一个克里特人说：“所有克里特人说的每一句话都是谎话。”试问这句话是真还是假?从数学上来说，这就是罗素悖论的一个具体例子。
罗素在该悖论中所定义的集合R，被几乎所有集合论研究者都认为是在朴素集合论中可以合法存在的集合。事实虽是这样但原因却又是什么呢？这是由于R是集合，若R含有自身作为元素，就有R R，那么从集合的角度就有R R。一个集合真包含它自己，这样的集合显然是不存在的。因为既要R有异于R的元素，又要R与R是相同的，这显然是不可能的。因此，任何集合都必须遵循R R的基本原则， 否则就是不合法的集合。这样看来，罗素悖论中所定义的一切R R的集合，就应该是一切合法集合的集合，也就是所有集合的集合，这就是同类事物包含所有的同类事物，必会引出最大的这类事物。归根结底，R也就是包含一切集合的“最大的集合”了。因此可以明确了，实质上，罗素悖论就是一个以否定形式陈述的最大集合悖论。
从此，数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法，其中之一是把集合论建立在一组公理之上，以回避悖论。首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗，他提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统（即所谓ZF公理系统），这场数学危机到此缓和下来。
现在，我们通过离散数学的学习，知道集合论主要分为Cantor集合论和Axiomatic集合论，集合是先定义了全集I，空集 ，在经过一系列一元和二元运算而得来得。而在七条公理上建立起来的集合论系统避开了罗素悖论，使现代数学得以发展。
我们应该怎样看待这三次数学危机呢？我认为数学危机给数学发展带来了新的动力。在这场危机中集合论得到较快的发展，数学基础的进步更快，数理逻辑也更加成熟。然而，矛盾和人们意想不到的事仍然不断出现，而且今后仍然会这样。就拿悖论的出现来说，从某种意义上并不是什么坏事，它预示着更新的创造和光明，推进了科学的进程，我们应用辨证的观点去看待他。
通过数学的发展史和这三次数学危机，我越来越感到M 克莱因教授著的一本书，是关于确定性的丧失，其中书中说道: 数学需要绝对的确定性来证实自身吗？特别是，我们有必要确保某一理论是相容的或确保其在使用之前是通过非经验论时期绝对可靠的直觉得到的吗？在其他科学中，我们并没要求这样做。在物理学中所有的定理都是假设的，一个定理，只要能够作出有用的预告我们就采用它。而一旦它不再适用，我们就修改或丢弃它。过去，我们常这样对待数学定理，那时矛盾的发现将导致数学原则的变更，尽管这些数学原则在矛盾发现前还是为人们所接受的。因此我们看问题的观念应该改变一下，数学是不确定性的。
不管数学以后向何处发展，但就数学仍然是可用的最好知识的典范。数学的成就是人类思想的成就，作为人类可以达到何种成就的证据，它给予人类勇气和信心，去解决那些一度看上去不可测知的宇宙秘密，去制服那些人类易于感染的致命疾病，去质疑去改善那些人们生活中的政治体系，因此我们说数学在这个大自然中是无处不在的，数学在人类发展中的作用也是不可估量的。

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