作业帮1.设m^4+n^4+p^4+t^4=4mnpt (m、n、p、t均为正数),求证：m=n=p=t.(注：m^4为m的4次方)2.a、b、c、d是四个任意给定的整数,求证：以下六个差数：b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的积一定可以被12整除.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 10:20:47
1.设m^4+n^4+p^4+t^4=4mnpt (m、n、p、t均为正数),求证：m=n=p=t.(注：m^4为m的4次方)2.a、b、c、d是四个任意给定的整数,求证：以下六个差数：b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的积一定可以被12整除.
1.设m^4+n^4+p^4+t^4=4mnpt (m、n、p、t均为正数),求证：m=n=p=t.
(注：m^4为m的4次方)
2.a、b、c、d是四个任意给定的整数,求证：以下六个差数：b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的积一定可以被12整除.
1.设m^4+n^4+p^4+t^4=4mnpt (m、n、p、t均为正数),求证：m=n=p=t.(注：m^4为m的4次方)2.a、b、c、d是四个任意给定的整数,求证：以下六个差数：b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的积一定可以被12整除.
1、因为m^4+n^4+p^4+t^4-4mnpt
=(m^2-n^2)^2+(p^2-t^2)^2+2(mn-pt)^2=0
所以 m^2=n^2 ,p^2=t^2 ,mn=pt
而由于m,n,p,t都是正数
所以m=n=p=t
2、如果a、b、c、d中至少有两个数相等,则6个差数中必有一个等于0,
则6个差数的积等于0,能被12整除.
当a、b、c、d两两不相等时,根据抽屉原理,则至少有两个数的奇、偶性相同,则6个差数中至少有2个偶数,所以6个差数的积能被4整除,
由于6个差数也两两不相等,假设6个差数都不能被3整除,则6个差数都只能写成3k+1或3k+2的形式,根据抽屉原理,至少有3个数能表达成其中的一种,而这3个数两两相减,则必定有一个差数（显然这个新的差数被3整除）和原来的6个差数中的一个形式一样,这与假设矛盾,所以必定有1个是3的倍数,所以6个差数的积能被12整除.（这里举个例子：假设b-a,c-a,d-a都能写成3k+1的形式,则(c-a)-(b-a)能被3整除,(c-a)-(b-a)=c-b,则c-b能被3整除,这与假设的6个差数都不能被3整除矛盾）