作业帮如何证明:若n是不能被4整除的正整数,则有5|1 ^n+2^n+3^n+4^n
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 13:49:06
如何证明:若n是不能被4整除的正整数,则有5|1 ^n+2^n+3^n+4^n
如何证明:若n是不能被4整除的正整数,则有5|1 ^n+2^n+3^n+4^n
如何证明:若n是不能被4整除的正整数,则有5|1 ^n+2^n+3^n+4^n
n被4整除余1 则 1 ^n 2^n 3^n 4^n末位数分别是1,2,3,4 1 ^n+2^n+3^n+4^n末位数是0
n被4整除余2 则 1 ^n 2^n 3^n 4^n末位数分别是1,4,9,6 1 ^n+2^n+3^n+4^n末位数是0
n被4整除余3 则 1 ^n 2^n 3^n 4^n末位数分别是1,8,7,4 1 ^n+2^n+3^n+4^n末位数是0
若n是不能被4整除的正整数,则有1 ^n+2^n+3^n+4^n 是末位数是0的正整数,从而有5|1 ^n+2^n+3^n+4^n
4^n=(5-1)^n=5^n-n*5^(n-1)+....+(-1)^n
3^n=(5-2)^n=5^n-n*5^(n-1)*2+....+(-2)^n
n是不能被4整除的正整数
当n=4k+1或4k+3时
4^n+1^n=5^n-n*5^(n-1)+....+(-1)^n+1^n
=5^n-n*5^(n-1)+....
3^n+2^...
全部展开
4^n=(5-1)^n=5^n-n*5^(n-1)+....+(-1)^n
3^n=(5-2)^n=5^n-n*5^(n-1)*2+....+(-2)^n
n是不能被4整除的正整数
当n=4k+1或4k+3时
4^n+1^n=5^n-n*5^(n-1)+....+(-1)^n+1^n
=5^n-n*5^(n-1)+....
3^n+2^n=5^n-n*5^(n-1)*2+....+(-2)^n+2^n
=5^n-n*5^(n-1)*2+....
显然5|1 ^n+2^n+3^n+4^n
当n=4k+2时
4^n+1^n=5^n-n*5^(n-1)+....+(-1)^n+1^n=5L+2(L表示整数)
3^n+2^n=5^n-n*5^(n-1)*2+....+(-2)^n+2^n
=5M+2*2^n
4^n+1^n+3^n+2^n=5L+5M+2+2*2^n=5(L+M)+2[4^(2k+1)+1]
有上面的证明可知
5|4^(2k+1)+1
所以5|1 ^n+2^n+3^n+4^n
综上所述
5|1 ^n+2^n+3^n+4^n
收起