什么是皮亚诺公理?请尽可能简单而有效的解释下,

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/08 02:44:07

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什么是皮亚诺公理?请尽可能简单而有效的解释下,
皮亚诺公理是用来在逻辑上建立自然数系统的,包括：
①0是自然数；
②每一个确定的自然数a,都有一个确定的后继数a' ,a' 也是自然数（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数,例如,0的后继数是1,1的后继数是2等等）；
可是仅有这两个公理还不够完整地描述自然数,因为满足这两条的有可能不是自然数系统.比如考虑由 0,1 构成的数字系统,其中1的后继为0.这不符合我们对于自然数系统的期望,因为它只包含有限个数.因此,我们要对自然数结构再做一下限制：
③0不是任何自然数的后继数；
但这里面的漏洞防不胜防,此时仍不能排除如下的反例：数字系统 0,1,2,3,其中3的后继是3.看来,我们设置的公理还不够严密.我们还得再加一条：
④如果b、c的后继数都是自然数a,那么b=c；
最后,为了排除一些自然数中不应存在的数（如 0.3）,同时也为了满足一会儿制定运算规则的需要,我们加上最后一条公理.
⑤任意关于自然数的命题,如果证明了它对自然数0是对的,又假定它对自然数n为真时,可以证明它对n' 也真,那么,命题对所有自然数都真.（这条公理也叫归纳公理,保证了数学归纳法的正确性）；
它把自然数认为是这样的东西,一个有始（‘0’）有序（“后继”）的链状（公理4）结构,满足条件5.与我们平时认知的自然数相比,举个例子,这里的结构没有定义加法和减法,也没有距离的概念,有的只有自然数结构和归纳公理.这是为了在逻辑上严格定义自然数,如果学过极限的话,可以想象下极限语言（ε-δ语言）是怎么严格描述极限的

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