作业帮请证明:在锐角三角形中,一个内角的正弦值大于另一个角的余弦值.还有任意三角形中两个内角的余弦值的和必为正值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 11:01:07
请证明:在锐角三角形中,一个内角的正弦值大于另一个角的余弦值.还有任意三角形中两个内角的余弦值的和必为正值.
请证明:在锐角三角形中,一个内角的正弦值大于另一个角的余弦值.
还有任意三角形中两个内角的余弦值的和必为正值.
请证明:在锐角三角形中,一个内角的正弦值大于另一个角的余弦值.还有任意三角形中两个内角的余弦值的和必为正值.
1.
设△ABC为锐角△,则∠A,∠B ,∠C π/2,
0< π/2-∠B < ∠A sin(π/2-∠B)=cos∠B
由A,B,是任选的,说明在锐角三角形中,一个内角的正弦值大于另一个角的余弦值.
2.
设△ABC,下面证明cosA+cosB>0
若∠A,∠B都小于π/2,cosA>0,cosB>0,结论成立
若∠A,∠B之一大于π/2,不妨设∠A>π/2
则cosA=-cos(π-∠A)
固只需证明cos(π-∠A) < cos∠B,
π-∠A,∠B都在[0,π/2]区间上,且π-∠A > ∠B
所以cos(π-∠A) < cos∠B,
1、
不妨设第一个内角为A，另一个内角为B，剩下那个为C
B=pi-A-C
cosB=sin(pi/2-B)=sin(pi/2-pi+A+C)=sin[A+(pi/2-C)]
因为是锐角三角形，所以pi/2-C>0,且pi/2-B=A+(pi/2-C)∈(0,pi/2)
在(0,pi/2)上，sin(x)为增函数，
A
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1、
不妨设第一个内角为A，另一个内角为B，剩下那个为C
B=pi-A-C
cosB=sin(pi/2-B)=sin(pi/2-pi+A+C)=sin[A+(pi/2-C)]
因为是锐角三角形，所以pi/2-C>0,且pi/2-B=A+(pi/2-C)∈(0,pi/2)
在(0,pi/2)上，sin(x)为增函数，
A
任意两个内角至少有一个是锐角，设此锐角为A，另一个角为B
cosA+cosB
=cosA+cos(pi-A-C)
=cosA-cos(A+C)
=cosA-cosAcosC+sinAsinC
=cosA(1-cosC)+sinAsinC
在(0,pi)上的sin值都是正的，所以sinAsinC>0
又因为设A为两个内角中的锐角，所以cosA>0,
1-cosC>0是显而易见的。
所以cosA(1-cosC)>0
最后cosA+cosB>0
收起
单位圆
余弦线和正弦线
看直角三角形
一个是斜边
一个是直角边
o(≥v≤)o