作业帮均值定理证明不等式已知x ,y都是实数并且y = x^2求证2^x + 2^y > 2的7/8次方
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 16:46:52
均值定理证明不等式已知x ,y都是实数并且y = x^2求证2^x + 2^y > 2的7/8次方
均值定理证明不等式
已知x ,y都是实数
并且y = x^2
求证2^x + 2^y > 2的7/8次方
均值定理证明不等式已知x ,y都是实数并且y = x^2求证2^x + 2^y > 2的7/8次方
2^x和2^y都大于等于零.因此：
2^x + 2^y >= 2根号( 2^x * 2^y ) 【等号成立条件：x=y=0或1】
= 2根号( 2^(x+y) ) = 2根号( 2^(x^2+x ) )
2的指数是x^2 + x,配方：
x^2 + x = x^2 + x + 1/4 - 1/4 = (x+1/2)^2 - 1/4
因为(x+1/2)^2 >= 0,因此(x+1/2)^2 - 1/4 >= -1/4,即x^2 + x >= -1/4
【等号成立条件：x = -1/2】
注意到2的多少次方这个函数是增函数.所以指数大的最后也大.那么最前面的推导可以继续往下写：
2根号( 2^(x^2+x ) ) >= 2根号( 2^(-1/4) ) = 2 * 2 ^ (-1/8) = 2^(7/8)
要使推导过程中的两个等号同时成立是不可能的.因此2^x + 2^y > 2的7/8次方.
这个题的关键在找出x^2+x究竟大于那个值.可以用上面的方法来解决.
2^x + 2^y >2*(2^x*2^y)^1/2=2^[(x+y)/2+1]
(x+y)/2+1=(x+y^2)/2 +1=(x+x^2)/2+1=1/2*(x+1/2)^2+7/8>7/8
上面证明利用了：a+b>2*(ab)^1/2,a@2@
满有意思的问题.我用一种最笨的方法证出的.我用分类讨论
首先当X大于等于0时,不用我说了吧
当X小于等于 -1时,也不用我说了吧.
当X大于 -1 小于 0 时, 我假设 -X=Z,既 Z 大于 0 小于 1
Y等于Z方
2^x等于 1/(2^Z) 2^y等于2^Z^2 根据均值定理A^2+B^2大于等于2AB
所以 2^x + 2^y 大于...
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满有意思的问题.我用一种最笨的方法证出的.我用分类讨论
首先当X大于等于0时,不用我说了吧
当X小于等于 -1时,也不用我说了吧.
当X大于 -1 小于 0 时, 我假设 -X=Z,既 Z 大于 0 小于 1
Y等于Z方
2^x等于 1/(2^Z) 2^y等于2^Z^2 根据均值定理A^2+B^2大于等于2AB
所以 2^x + 2^y 大于等于2(2^(Z^2/2-Z/2))
要证2(2^(Z^2/2-Z/2))> 2的7/8次方
需证2^(Z^2/2-Z/2)> 2的-1/8次方
因为2^x是单调函数只要证 Z^2/2-Z/2大于-1/8就行了
化简是(2Z-1)^2大于0
因为Z 大于 0 小于 1 当Z等于1/2时 1/(2^Z)不等于2^Z^2
既1/(2^Z)+2^Z^2大于2(2^(Z^2/2-Z/2))等于2的7/8次方
我想这是这到题的基本思路做法.
这样基本就证完了,由于书写不太方便你自己在整理一下,你自己在想一下,其实我看到这道题时也没思绪,后有提示用均值定理证明我才想到的.
大家看到我的答案时也不要笑我的笨方法,我相信大家有更省事省时的方法.
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