已知正整数数列{an},(n∈N*)中,前n项和为Sn,且2Sn=an+1/an,用数学归纳法证明an=(根号下n)-(根号下n-1

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/03 01:40:24
已知正整数数列{an},(n∈N*)中,前n项和为Sn,且2Sn=an+1/an,用数学归纳法证明an=(根号下n)-(根号下n-1

已知正整数数列{an},(n∈N*)中,前n项和为Sn,且2Sn=an+1/an,用数学归纳法证明an=(根号下n)-(根号下n-1
已知正整数数列{an},(n∈N*)中,前n项和为Sn,且2Sn=an+1/an,用数学归纳法证明an=(根号下n)-(根号下n-1

已知正整数数列{an},(n∈N*)中,前n项和为Sn,且2Sn=an+1/an,用数学归纳法证明an=(根号下n)-(根号下n-1
1.当k=1时.
2S1=a1+1/a1 a1=1=√1-√1-1
假设当k=n-1时.
2Sn-1=a(n-1)+1/a(n-1)成立,可推出an-1=√n-1 -√n-2
当k=n时
2Sn=an+1/an
又2S(n-1)=a(n-1)+1/a(n-1) 相减:2Sn-2S(n-1)=2an
即2an=an+1/an-a(n-1)+1/an-1
an-1/an=-a(n-1)-1/a(n-1)
=-√n-1 +√n-2-1/√n-1 -√n-2
=-2√n-1
=√n-√n-1-√n-√n-1
=√n-√n-1-1/(√n-√n-1)
所以an=√n-√n-1
综上所述,命题得证
---------有不懂的请HI我

当n=1时,2Sn=an+1/an,即2a1=a1+1/a1 解得a1=1=(根号1)-(根号1-1) 所以 等式成立
假设n=k时,ak=(根号k)-(根号k-1) 成立,则n=k+1时
2S(k+1)=a(k+1)+1/a(k+1) (1)
2Sk=ak+1/ak (2)

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当n=1时,2Sn=an+1/an,即2a1=a1+1/a1 解得a1=1=(根号1)-(根号1-1) 所以 等式成立
假设n=k时,ak=(根号k)-(根号k-1) 成立,则n=k+1时
2S(k+1)=a(k+1)+1/a(k+1) (1)
2Sk=ak+1/ak (2)
(1)式-(2)式 得 2a(k+1) =a(k+1)+1/a(k+1)-ak-1/ak
又因为 ak=(根号k)-(根号k-1) 所以 a(k+1)-1/a(k+1)=-(ak+1/ak)=-2(根号k)
解得 a(k+1)=(根号k+1)-(根号k) 所以 等式成立
故 an=(根号n)-(根号n-1) 成立

收起

已知数列{an}中,an=(n+1)(10/11)^n,n属于正整数,求证,数列{an}先递增,后递减求数列{an}的最大项 已知正整数数列{an},(n∈N*)中,前n项和为Sn,且2Sn=an+1/an,用数学归纳法证明an=(根号下n)-(根号下n-1 已知正整数数列{an},(n∈N*)中,前n项和为Sn,且2Sn=an+1/an,用数学归纳法证明an=(根号下n)-(根号下n-1 已知数列{an}中,a1=1/2,且a(n+1)=an/2+(2n+3)/2^(n+1),n为正整数,求an. 已知数列{an}中,a1=2,且an+1=an+n+2的n次方,n为正整数,求通项公式an 1.已知数列{an}中a1=1,an+1=2an+1(n属于正整数),求通项公式 已知数列{An}中,A1=1,且对任意的正整数m,n满足Am+n=Am+An+mn.求数列An的通项公式. 已知数列{an}中,其前n项和为Sn,且n,an,Sn成等差数列(N属于正整数).(1)求数列{an}已知数列{an}中,其前n项和为Sn,且n,an,Sn成等差数列(N属于正整数)。(1)求数列{an}的通项公式;(2)求Sn 在数列{an}中,已知an=n²-n+1,n∈N*,则an+1=_____ 在由正整数组成的数列中{an}中,已知anan+1=2^2n-1(n∈N*),求证:数列{an}为等比数列的充要条件是a1=1 在数列{an}中,已知a1=2,若a(n+1)=an+2n(n为正整数) 求an 已知数列{an}满足an=(n-根号2008)/(n-根号2009) (n属于正整数),判断{an}中是否有最大项、最小项.写出推导过程 已知数列an中,a1=-1,且(n+1)an,(n+2)a(n+1),n成等差数列,n∈正整数(1)设bn=(n+1)an-n+2,求证:数列bn是等比数列(2)求数列an的通项公式(3)若an-bn≤kn,对一切n∈正整数恒成立,求实数k的取值范围 已知数列{an}中,a1=1,且3an=an-1加6【n大于等于2,n属于正整数】,求通项公式an. 已知数列{an}中,a1=1,且3an=an-1+6(n>2或等于2,n属于正整数),求通项公式an .感激= 已知数列{an}中,a1=3,an=(2^n)*a(n-1) (n》2,n∈N*)求数列an通项公式 已知数列{an}中,a1=5,且an=2a(n-1)+2^n-1(n≥2,n属于正整数),若数列{an+b/2^n}为等差数列,求实数b的 已知数列an中,an=(n+1)(10/11)^n,n是正整数.(1)求证:数列{an}先递增,后递减(2)求数列{an}的最大项