一道巨难数列题!求一道递推数列求通项公式!A（n+1）= m*An+Bn其中Bn通项公式已知,Bn=n*q^n-1 q为常数求An 通项公式!Bn=n*q^(n-1) q为常数

一道巨难数列题!求一道递推数列求通项公式!A（n+1）= m*An+Bn其中Bn通项公式已知,Bn=n*q^n-1 q为常数求An 通项公式!Bn=n*q^(n-1) q为常数
一道巨难数列题!求一道递推数列求通项公式!
A（n+1）= m*An+Bn
其中Bn通项公式已知,Bn=n*q^n-1 q为常数
求An 通项公式!
Bn=n*q^(n-1) q为常数

一道巨难数列题!求一道递推数列求通项公式!A（n+1）= m*An+Bn其中Bn通项公式已知,Bn=n*q^n-1 q为常数求An 通项公式!Bn=n*q^(n-1) q为常数
[1]
m不等于1时
由于:
Bn=n*q^(n-1)
又：
A(n+1)=mAn+Bn
则：
A(n+1)=mAn+nq^(n-1)
两边同时除以[q^(n+1)],得：
A(n+1)/q^(n+1)=mAn/[q^n*q]+[n*q^(n-1)/q^(n+1)]
A(n+1)/q^(n+1)=(m/q)[An/q^n]+{n*q^[(n-1)-(n+1)]}
设Cn=An/q^n
则有：
C(n+1)=(m/q)Cn+[n/q^2]
设存在常数T满足：
C(n+1)+k(n+1)+T=(m/q)[Cn+kn+T]
整理,得：
C(n+1)=(m/q)Cn+(m/q-1)kn+[(m/q-1)T-k]
对比原式：
C(n+1)=(m/q)Cn+[n/q^2]
可得：
（1/q^2)n=[(m/q-1)k]n
(m/q)T-k=0
解得：
T=1/[(m-q)^2],k=1/[q(m-q)]
故：
C(n+1)+[1/(mq-q^2)](n+1)+1/[(m-q)^2]
=(m/q){C(n)+[1/(mq-q^2)](n)+1/[(m-q)^2]}
故：
数列{C(n)+[1/(mq-q^2)](n)+1/[(m-q)^2]}
为公比为(m/q)的等比数列
则：
Cn+[1/(mq-q^2)]n+1/[(m-q)^2]
={C1+[1/(mq-q^2)]+1/[(m-q)^2]}*(m/q)^(n-1)
则：
Cn=An/q^n
={[m^(n-1)/q^n]*[A1+m/(m-q)^2]-n/(mq-q^2)
-1/[(m-q)^2]
则：
An=[m^(n-1)]*[A1+m/(m-q)^2]-[n*q^n/(mq-q^2)]
-{q^n/[(m-q)^2]}
将已知的A1代入即可
[2]m=1时,
A(n+1)=An+n*q^(n-1)
A(n+1)-An=n*q^(n-1)
则有：
A(n)-A(n-1)=(n-1)*q^(n-2)
...
A3-A2=2*q^1
A2-A1=1*q^0
将上式累加,得：
A(n)-A1=1*q^0+2*q^1+...+(n-1)*q^(n-2)
设
T(n)=1*q^0+2*q^1+...+(n-1)*q^(n-2) -----{1}
(1)当q=1时
则：
T(n)=1+2+...+(n-1)
=[(n-1)+1](n-1)/2
=n(n-1)/2
则：
A(n)=A1+n(n-1)/2
(2)当q不等于1时,
则：
qT(n)=1*q^1+2*q^2+...+(n-2)*q^(n-2)+(n-1)*q^(n-1) ------{2}
利用错位相减,{1}-{2},得：
(1-q)Tn=[q^0+q^1+q^2+...+q^(n-2)]-(n-1)q^(n-1)
(1-q)Tn=1*[1-q^(n-1)]/(1-q)-(n-1)q^(n-1)
则：
Tn=1-q^(n-1)-[(1-q)(n-1)]*q^(n-1)
=1-n*q^(n-1)+(n-1)q^n
则：
A(n)=A1+1-n*q^(n-1)+(n-1)q^n
综上,
当m不等于1时
An=[m^(n-1)]*[A1+m/(m-q)^2]-[n*q^n/(mq-q^2)]
-{q^n/[(m-q)^2]}
当m=1时
q=1时,A(n)=A1+n(n-1)/2
q不等于1时,A(n)=A1+1-n*q^(n-1)+(n-1)q^n

这道题最好不要用数学归纳法，因为未知数太多，不好归纳。
（待定系数法）
你没有给出A1，所以这里设A1=a
A（n+1）= m*An+n*q^(n-1)
当m≠1时，
设A(n+1)+xnq^(n-1)=m(An+xnq^(n-1))
解得x=1/(m-1)
所以设Cn=An+nq^(n-1)/(m-1),
其中C1=a+1/(m-...

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这道题最好不要用数学归纳法，因为未知数太多，不好归纳。
（待定系数法）
你没有给出A1，所以这里设A1=a
A（n+1）= m*An+n*q^(n-1)
当m≠1时，
设A(n+1)+xnq^(n-1)=m(An+xnq^(n-1))
解得x=1/(m-1)
所以设Cn=An+nq^(n-1)/(m-1),
其中C1=a+1/(m-1),
可得{Cn}为C1=a+1/(m-1),公比为m的等比数列
所以Cn=(a+1/(m-1))*m^(n-1)
所以An+nq^(n-1)/(m-1)=(a+1/(m-1))*m^(n-1)
化简得
An=(a+1/(m-1))*m^(n-1)-nq^(n-1)/(m-1)
当m=1时，用累加法即可

收起

得告诉A1吧

用待定系数法，先求出
（An+？）为等北数列
设A（n+1）+D=T*(An+D)
然后求这个新数列的通项，进而可以求原来的通项
、计算较复杂，不好算，加上不好打字，就算了
二楼的也不失为一个好办法
数列运用最多的就是构造与数学归纳法

A(n+1)=mAn+Bn
A(n+1)+cq=m(An+c)
得mc-cq=Bn=n*q^(n-1)
c=Bn/(m-q)
Dn=An+Bn/(m-q)
则D（n+1）=m*Dn
Dn=D1*m^(n-1)=(A1+1)*m^(n-1)
An=Dn-Bn/(m-q)=(A1+1)*m^(n-1)-n*q^(n-1)/(m-q)
题目没 给出A1 如果有A1就能求 通项了

先猜后证，数学归纳法