作业帮三角函数 (27 19:11:23)y=sinX+cosX+sinX*cosX的最小值和最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 06:00:39
三角函数 (27 19:11:23)y=sinX+cosX+sinX*cosX的最小值和最大值
三角函数 (27 19:11:23)
y=sinX+cosX+sinX*cosX的最小值和最大值
三角函数 (27 19:11:23)y=sinX+cosX+sinX*cosX的最小值和最大值
令t=sinX+cosX t的范围[-√2,√2]
则sinXcosX=(t^2-1)/2
所以y=t+(t^2-1)/2
=[(t+1)^2-2]/2
（自己画一下图形,就可以很简单的看出了）
当t=-1时,y最小值=-1
当t=√2时,y最大值=（1+2√2）/2
令sinx+cosx=t
则t=sinx+cosx=√2sin(x+45)∈[-√2,√2]
而
2sinxcosx=t^2-[(sinx)^2+(cosx)^2]
∴sinxcosx=(t^2-1)/2
∴原式=t+(t^2-1)/2
=[(t+1)^2-2]/2
由t的取值
y∈[-1,√2+0.5]
求最大值最小值，先求导。高一学导数没 ？ ⊙﹏⊙b汗。那算了，直接求也行。
原式=根号2*sin(x+π/4) +sinx*cosx +1/2 -1/2
=根号2sin(x+π/4)+1/2(sinx+cosx)^2 -1/2
=根号2sin(x+π/4)+1/2*[根号2sin(x+π/4)]^2 -1/2
=根号2sin(x+π/4)+s...
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求最大值最小值，先求导。高一学导数没 ？ ⊙﹏⊙b汗。那算了，直接求也行。
原式=根号2*sin(x+π/4) +sinx*cosx +1/2 -1/2
=根号2sin(x+π/4)+1/2(sinx+cosx)^2 -1/2
=根号2sin(x+π/4)+1/2*[根号2sin(x+π/4)]^2 -1/2
=根号2sin(x+π/4)+sin(x+π/4)^2-1/2 + 1/2 -1/2
= [sin(x+π/4)+ 根号2/2 ]^2 -1
好了，
当括号内三角函数取1时 原式有最大值根号2+1/2
当括号内三角函数取-根号2/2时, 原式有最小值-1
收起
原式=sinX+cosX+1/2*{(sinX+cosX)^2-[(sinX)^2+(cosX)^2]}
=sinX+cosX+1/2*(sinX+cosX)^2-1/2
=1/2*(sinX+cosX+1)^2-1
=1/2*{2^1/2*[sin(π/4+X)]}-1
所以最小值为sin(π/4+X）取-1时，最小值为1
最大值为sin(π/4+X）取1时，最大值 根号2+1/2