急求一道高中数学圆锥曲线经典证明题的解法过抛物线准线上的一个点,向抛物线做两条切线,求证：两个切点与抛物线的焦点共线.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/08 01:04:20

急求一道高中数学圆锥曲线经典证明题的解法过抛物线准线上的一个点,向抛物线做两条切线,求证：两个切点与抛物线的焦点共线.
急求一道高中数学圆锥曲线经典证明题的解法
过抛物线准线上的一个点,向抛物线做两条切线,求证：两个切点与抛物线的焦点共线.

急求一道高中数学圆锥曲线经典证明题的解法过抛物线准线上的一个点,向抛物线做两条切线,求证：两个切点与抛物线的焦点共线.
要先建系,抛物线顶点为原点,焦点在x轴或者y轴
倒是无所谓的,我证在y轴上的
设x^2=2py(p>0),则准线上任意一点P(x0,-p/2),设抛物线上有一点Q(x,x^2/2p)使PQ与其相切,则
f'(x)=x/p,所以(x^2/2p+ p/2)/x-x0=x/p,整理得x^2-2x0x-p^2=0设两切点分别Q1(x1,x1^2/2p)Q2(x2,x2^2/2p) x1x2=-p^2
PQ1向量=(x1,x1^2/2p -p/2)PQ2向量=(x2,x2^2/2p -p/2)据向量共线定理
x1(x2^2/2p -p)-x2(x1^2/2p -p)=x1x2(x2-x1)/2p +p(x2-x1)/2=(x2-x1)(x1x2/2p +p/2)=0
即PQ1向量PQ2向量共线所以三点共线

用相似三角形，结合韦达定理来做，做的时候应该把抛物线设成y=kx^2或x=ky^2来做（k为大于0的参数），这样做很简便

设准线上点为A,两个切点为P, Q, 焦点为F.
作PH,QG分别垂直准线于H, G
由光学性质, 角FPA等于角HPA,
由准线性质, PF=PH
所以三角形FPA和HPA全等(边角边)
所以AF垂直于PF
同样AF垂直于QF
所以P, F, Q共线

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