作业帮如图,△ABC内接于⊙O,高AD,BE相交于点H,延长AD交△ABC的外接圆于点G,求证：（1）HD=DG（2）若∠ACB=60°,则CH等于⊙O的半径
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 23:08:55
如图,△ABC内接于⊙O,高AD,BE相交于点H,延长AD交△ABC的外接圆于点G,求证：（1）HD=DG（2）若∠ACB=60°,则CH等于⊙O的半径
如图,△ABC内接于⊙O,高AD,BE相交于点H,延长AD交△ABC的外接圆于点G,
求证：（1）HD=DG
（2）若∠ACB=60°,则CH等于⊙O的半径
如图,△ABC内接于⊙O,高AD,BE相交于点H,延长AD交△ABC的外接圆于点G,求证：（1）HD=DG（2）若∠ACB=60°,则CH等于⊙O的半径
(1)连接BG,根据同一弧所对应的圆周角相等,可推出∠BGA=∠ACB
再看△AHE和△ACD,共用∠DAC,而且∠BEC和∠ADC都是直角
则△AHE∽△ACD,推出∠AHE=∠ACB,根据之前∠BGA=∠ACB的结论
可得∠BGA=∠AHE
∠AHE=∠BHG（对角）,则∠BGA=∠BHG
可得BH=BG,△BHG是等腰三角形,则BD既是△BHG的高又是它的中线（可用全等证明）
可得结论HD=DG
(2)过O作ON垂直于BC交BC于N,连接BO
在△BCE中,∠ACB=60°,则CE=1/2BC
因为过圆心垂直于弦的直线平分改弦,则CE=CN
通过上问证得的HD=DG可证△CDH≌△CDG,推出∠DCH=∠DCG
因为∠DCG=∠BAD（同一弧所对应的圆周角）,则∠DCH=∠BAD
∠EHC=∠HBC+∠HCB=30°+∠HCD
∠BAC=∠CAD+∠BAD=30°+∠BAD
推出∠EHC=∠BAC
圆心角是所对的圆周角的2倍,则∠BOC=2∠BAC
推出∠COD=∠EHC
则在直角△COD和直角△CHE中,CE=CD,∠COD=∠EHC
推出△COD≌△CHE
推出CO=CH,CO是半径,所以问题可证
⑴连结BG、CG
易得：∠BHG＝∠AHE＝∠ACD＝∠AGB
∴BH＝BG
∴点B在HG的垂直平分线上
∵∠BCH＋∠ABC＝90°，∠BAD＋∠ABC＝90°
∴∠BCH＝∠BAD
∴∠CHD＝∠ABC＝∠CGH
∴CG＝CH
∴点C在HG的垂直平分线上
∴BC垂直平分HG
∴HD＝DG
⑵作直径BF，连结...
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⑴连结BG、CG
易得：∠BHG＝∠AHE＝∠ACD＝∠AGB
∴BH＝BG
∴点B在HG的垂直平分线上
∵∠BCH＋∠ABC＝90°，∠BAD＋∠ABC＝90°
∴∠BCH＝∠BAD
∴∠CHD＝∠ABC＝∠CGH
∴CG＝CH
∴点C在HG的垂直平分线上
∴BC垂直平分HG
∴HD＝DG
⑵作直径BF，连结AF、CF
∴∠BAF＝∠BCF＝90°
∴AF‖CH，AH‖CF
∴四边形AHCF是平行四边形
∴AF＝CH
∵∠AFB＝∠ACB＝60°
∴AF＝1/2BF
∴CH＝1/2BF
即CH等于⊙O的半径
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