如何用微积分证明圆球表面积计算公式

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/06 02:23:28

如何用微积分证明圆球表面积计算公式
如何用微积分证明圆球表面积计算公式

如何用微积分证明圆球表面积计算公式
在x,y,z都大于0的范围内求对于1/8球面的曲面积分,然后再乘以8.
好像应该是做这个积分:∮dxdydz D:x^2+y^2+z^2=r^2
以前上课时候做过,现在只记得思路了……过程忘记了~

二分之一乘底（底圆周长）乘高（圆锥母线）+3.14（圆周率）乘半径的平方==圆锥的表面积

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球截面圆的周长函数为2(pi)√(R^2-x^2)
对x进行[0,R]积分得到半球表面积
即dS=4(pi)√(R^2-x^2)
对dS积分,设x=R(sin t),t=[0,pi/2]
则dS=4(pi)R(cos t)√(R^2-(R(sin t))^2) dt
=4(pi)(R^2)(cos t)^2 dt
=2(pi)(R^2)+(2(pi)(R^2)(sin 2t) dt) ,t=[0,pi/2]
则解2(pi)(R^2)(sin 2t) dt积分有2(pi)(R^2)
即得S=4(pi)(R^2)

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