【平面几何】求做直线,使定点到该直线的距离之和最短小弟近日梦到一问题（平几,不要想立体几何）：如题,求做直线,使平面内的n各定点到该直线的距离之和最短.n=1.过该点的所有直线均可

【平面几何】求做直线,使定点到该直线的距离之和最短小弟近日梦到一问题（平几,不要想立体几何）：如题,求做直线,使平面内的n各定点到该直线的距离之和最短.n=1.过该点的所有直线均可
【平面几何】求做直线,使定点到该直线的距离之和最短
小弟近日梦到一问题（平几,不要想立体几何）：
如题,求做直线,使平面内的n各定点到该直线的距离之和最短.
n=1.过该点的所有直线均可
n=2.过这两点的直线
n=3.过这三点中距离最大的两点的直线（例：ABC三点,若AB＞BC＞AC,就是过AB的直线）
(1)n=3时的给出的做法是正确的还是错误的.如果是正确的,请给出证明,如果是错误的,请给出正确做法并证明
(2)求当n=4,5,6...
我的思路：
1.解析几何比较实用平面内点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为(|y0-kx0-b|)/(√(1+k^2))
2.可做一条与所求直线l垂直的直线m,然后做那些定点在直线m上的投影.然后求这些投影的点 到 直线l与直线m的交点 的距离 即可.（显然l与m的交点应该在正中间的一个投影上（如果是n奇数）或在正中间的两点之间（如果n是偶数））

【平面几何】求做直线,使定点到该直线的距离之和最短小弟近日梦到一问题（平几,不要想立体几何）：如题,求做直线,使平面内的n各定点到该直线的距离之和最短.n=1.过该点的所有直线均可
很好很有趣的问题
首先,这个问题我在信息学奥赛的国家集训队论文集中看到过,当时是作为一个程序算法题出现的
论文集的解法并不是基于严格的数学证明.我做了一个严格的数学证明,证明过程要用到一些一元函数导数求极值的手段,楼主如果学过导数可能容易理解一些
在详细解答之前,先给出你的两个问题的结论:
(1)n=3时你的做法是对的
(2)当n>=2时,点集距离和最小的直线必定过点集中的某两个点,也就是说,距离和最小的直线是n(n-1)/2条过两点的直线中距离和最小的那条直线
以n=3为例,可能的距离最小和直线只能在AB,BC,AC中出现,因为AB>BC>AC,由于底越大高越小,所以n=3是所求的直线就是距离最大的两点的连线(即AB)
也就回答了你的(1)问题
详细的解答过程我放在了空间相册里(这儿打字符根本说不明白),过程还是比较复杂的,一共三张图片,全部用latex排版,数学公式看上去是很美观的(顺次点开看到全部解答,点击屏幕右下角的"查看原图"恢复到原来的图片大小):












有了(2)的结论,楼主还可以进一步想想,这n(n-1)/2条过两点直线中哪条是距离和最短的(我猜想没有一个统一的答案)
另外想问问3楼的弟兄,"证明很简单"你能否给出一个详细证明?看你n=3的情况证明都是错的!
楼上的兄弟,线性回归求的是点到直线距离的平方和最小值,不是距离的和,好伐.

n=3是正确的，证明极其简单。
比如说ABC三点，AB距离最大，以A为圆心，AB为半径画个圆，则点C落在圆内。只需证C到AB的距离小于B到AC的距离，你用相似三角形一下就证出来了。
n>3的也很简单，你可以证明：至少有2个点在所求直线上，这样，一共有n(n-1)/2条直线，你一个一个试就试出来了。
证明方法大约是这样：如果没有点在直线L上，你可以略微平移L，总有一个方向使...

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n=3是正确的，证明极其简单。
比如说ABC三点，AB距离最大，以A为圆心，AB为半径画个圆，则点C落在圆内。只需证C到AB的距离小于B到AC的距离，你用相似三角形一下就证出来了。
n>3的也很简单，你可以证明：至少有2个点在所求直线上，这样，一共有n(n-1)/2条直线，你一个一个试就试出来了。
证明方法大约是这样：如果没有点在直线L上，你可以略微平移L，总有一个方向使得距离和不会增大，直到碰上一个点。于是，至少有一个点会通过所求直线L。
再证明两个点的：如果只有一个点通过所求直线L，那么你可以略微旋转L，总有一个方向使得距离和减小，直到L再碰上一个点。

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LZ如果不是来消遣我等的，那的确极具数学天赋~把方差公式都搞出来了

首先，纠正一下1楼的说法是不正确的，高一必修三里面那个回归直线方程的意义是使得坐标系里面这N个点到回归直线的距离的“平方和”最小【需要强调的是，这里的距离并非楼主需要的点到直线的垂直距离，而是是指竖直方向上的距离：也就是过该点（不妨设纵坐标是y1）作垂直于x轴的直线，与回归直线交与一点，它的纵坐标是y2，那么这里所谓的竖直距离就是yi-y2的绝对值】

     这里用的是所谓的“最小二乘法”

     而这道题目所要用的应该是“最小一乘法”

     所以，1楼的论述是不正确的。

     其实，你的问题已经有位大学教授解决过了...

     你看看这个：http://www.cqvip.com/onlineread/onlineread.asp?ID=10376700

     这里只能看第一页，剩下的要钱才能看...要用到大学的知识，反正我是看不懂啦，你看看对你有没有帮助吧。

    另外对于你的第一个问题，2楼的所发我看的是不大懂的，我这里用我的方法说明一下。（反证法）

    设AB是最长边，它上面的高长是h

    如图，假设存在一条直线比边AB所在的直线满足ABC三点到该直线的距离更短，不妨设它是直线l。

    那么由图中容易知道：AC,BC都大于h。假设ABC到该直线的距离分别是a,b,c

那么明显（a+b+c<h<AC和BC）

    这样的话分别以ABC三点为圆心，以a,b,c三点为半径作圆容易知道三个圆之间是独立的，没有任何交点的。

    ∵A,B,C到直线m的距离分别是a,b,c,那么三个圆（圆A,圆B,圆C）一定有一条公切线，明显，这条公切线不存在（不可能有直线与三个圆心不在同一直线上的圆都相切）

    ∴假设错误

    ∴过这三点中距离最大的两点（A,B）的直线即是n=3时的所求直线.

    另外，楼主的想象力真的很丰富，为了你的这道题我也想了很久，差点也犯了1楼一样的错误。。希望楼主继续保持这种好奇心！！

能作出这样的梦真是天才！
我认为你的想法不是正确的。
当然，作为一个普通的高三学生，我所说的也只是我的想法：
不知道你有没有看过高中数学（人教版）选修2-3的第三章第一节：回归分析的基本思想及其初步应用？
书上做讲的内容与你这题要求的“直线”本质上是一样的：求回归直线
我的方案（基本是背书的）：
①建立直角坐标系，给n个点编号（画散点图）
②...

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能作出这样的梦真是天才！
我认为你的想法不是正确的。
当然，作为一个普通的高三学生，我所说的也只是我的想法：
不知道你有没有看过高中数学（人教版）选修2-3的第三章第一节：回归分析的基本思想及其初步应用？
书上做讲的内容与你这题要求的“直线”本质上是一样的：求回归直线
我的方案（基本是背书的）：
①建立直角坐标系，给n个点编号（画散点图）
②求回归方程：
分类讨论：
1.如果N个点的分布接近于线性，则可以直接用线性方法做下去；
2.如果N个点的分布不是线性，则应当用各种方法将其转换为线性：
例如：有一组点的分布是呈二次函数的，则应当将点用对数函数转化为线
性关系再作下一步处理
③线性回归方程的求法：
n ＿ ＿
∑ (xi-x)(yi-y)
⌒ i=1
b= -------------------
n ＿
∑ (xi-x)^2
i=1
⌒ _ ⌒ _
a= y - b x
④所以y=ax+b为所求
⑤由于可能求到很多个直线，那到底哪个最准呢？
所以要 求“残差”，残差越小，证明所求直线越精确
将散点的残差的平方加起来，就得到了残差平方和，它代表了随机误差的效应
（这个公式比上面的更难写，所以不打了）
*如果你看不懂的话我跟你解释一下:
这实质就是通过求这些散点里这条虚拟的线的最短距离之和,类似于初中学的求一组数据的方差.(因为如果有的点在直线下方,有的点在上方,它们一正一负会相互抵消导致误差,所以这个公式为了避免这种情况,用了类似求方差的办法.)
⑥搞定！
如果你要找不到数学选修2-3，可以去这个网址下载课件看，如果你还看得下的话：http://mathschina.com/gaozhongkebiao/ShowSoft.asp?SoftID=74831
我可是找了很久才找到的啊！
另外，对于你所说的
2.可做一条与所求直线l垂直的直线m，然后做那些定点在直线m上的投影.然后求这些投影的点 到 直线l与直线m的交点 的距离 即可。（显然l与m的交点应该在正中间的一个投影上（如果是n奇数）或在正中间的两点之间（如果n是偶数））
——我认为未尝不可，但很难保证是最短的（也就是最精确的），最好将点到线的距离用方差计算，得到的结果可能更加准确。而且，你所讲的办法不具有一般性，也就是在一些其他方面可能难以拓展，只适合基础（直线）部分，例如求一条曲线就不行了。
不过我很钦佩的对数学的热情和不息的探索！我跟你讲的东西都是老师教的，我没有你一样思考的空间和火花，所以你一定很有潜力！By the way,老师用了一个星期才讲完，我的话不免有漏洞，最好还是自己翻书看看，理解，这样比较深刻。最后，祝你成功！作个好梦！
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嗯，我看三楼「矛∈雨∮盾 - 魔法师 四级」应该是对的！O(∩_∩)O

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NB啊

我觉得“矛∈雨∮盾”的也不对吧
还是有存在这样的切线，它是BC两圆的内公切线、AC两园的内公切线、AB两圆的外公切线。大家应该想象的到吧~
所以我觉得n=3时应该不是那条线，因为现在我也无法证明…………
还是佩服你的做梦能力，天才！...

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我觉得“矛∈雨∮盾”的也不对吧
还是有存在这样的切线，它是BC两圆的内公切线、AC两园的内公切线、AB两圆的外公切线。大家应该想象的到吧~
所以我觉得n=3时应该不是那条线，因为现在我也无法证明…………
还是佩服你的做梦能力，天才！

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