作业帮求证有关内心的一道几何证明题!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 17:15:09
求证有关内心的一道几何证明题!
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求证有关内心的一道几何证明题!
（1）铺垫伏笔
延长PQ交BC于D,过P作AC的垂线交AC于E,过I作BC的垂线交BC于H,HI的延长线交PE于G
记△ABC的面积为S,三边长分别为AB=c,BC=a,CA=b,BC边上的高为h,内切圆的半径为r
并记∠ACB=2@
则由于S=ah/2=(a+b+c)r/2,所以PD=h/2=S/a,HI=r=2S/(a+b+c),BH=(a+c-b)/2,
又由于KM//BC,所以∠MPC=∠PCB=∠PCM,故PM=MC=AC/2=b/2
（2）计算PQ
由于KM//BC,QM//BI,所以∠PMQ=∠HBI（详细可延长MQ与CB延长线相交后证明）
所以Rt△PHQ与△HBI相似,PQ/HI=PM/BH
PQ=HI*PM/BH=[2S/(a+b+c)*(b/2)]/[(a+c-b)/2]=2bS/[(a+b+c)*(a+c-b)]
（3）计算GI
由于∠GIP=∠CIH=90°-∠ICH=90°-@/2=90°-∠PCE=∠EPC,所以PG=GI
GI=(PI/2)/sin@
而由于∠IPQ=90°-∠PCD=90°-@,所以PI=(PD-HI)/sin@
故GI=(PD-HI)/(2sin@^2)=(h/2-r)/(1-cos2@)
由余弦定理cos2@=(a^2+b^2-c^2)/2ab,
所以,GI=[S/a-2S/(a+b+c)]/[1-(a^2+b^2-c^2)/2ab]=[2bS(b+c-a)/(a+b+c)]/(2ab-a^2-b^2+c^2)
=[2bS(b+c-a)/(a+b+c)]/[(b+c-a)(a+c-b)]=2bS/[(a+b+c)*(a+c-b)
故GI=PQ
（4）证明垂直
由于GI//PQ,且GI=PQ,所以PQIG是平行四边形
所以QI//PG
因为PG垂直于AC
所以QI垂直于AC
证毕.
注：若第（3）步中,尚未学过三角函数知识2sin@^2=1-cos2@,则补充用初中平面几何知识计算如下：
在△PGI中,∠PGI=∠ACB=2@
用余弦定理,PI^2=PG^2+GI^2-2PG*GI*cos2@=(1-cos2@)GI^2
以I为圆心、IP为半径做圆,交PD于R,
则在△PIR中,∠PIR=∠ACB=2@,且PR=2(PD-HI)
用余弦定理,PR^2=PI^2+DI^2-2PI*DI*cos2@=(1-cos2@)PI^2
于是可得（3）中的结果.