作业帮令G是全部实数对(a,b)(a≠0)的集合,在G上定义乘法为(a,b)(c,d)=(ac,ad+b),e=(1,0).验证G是一个群.一个近世代数的题目,望高人能够帮小弟解答!不胜感激!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/15 12:17:13
令G是全部实数对(a,b)(a≠0)的集合,在G上定义乘法为(a,b)(c,d)=(ac,ad+b),e=(1,0).验证G是一个群.一个近世代数的题目,望高人能够帮小弟解答!不胜感激!
令G是全部实数对(a,b)(a≠0)的集合,在G上定义乘法为(a,b)(c,d)=(ac,ad+b),e=(1,0).验证G是一个群.
一个近世代数的题目,望高人能够帮小弟解答!不胜感激!
令G是全部实数对(a,b)(a≠0)的集合,在G上定义乘法为(a,b)(c,d)=(ac,ad+b),e=(1,0).验证G是一个群.一个近世代数的题目,望高人能够帮小弟解答!不胜感激!
首先我要说G不是一个群,G只是一个集合!
G配上了一个乘法运算后形成的这个代数系统才有可能是个群,
现在我们来证明：
首先是G的乘法运算的封闭性：
(a,b)∈G (c,d) ∈G,则a,b,c,d∈R a≠0,c≠0,所以(ac,ad+b) ac,ad+b∈R,且ac≠0;所以(ac,ad+b) ∈G
封闭
满足结合律：
任意(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) ∈G
[(x1,y1)(x2,y2)](x3,y3)=(x1x2,x1y2+y1)(x3,y3)=(x1x2x3 ,x1x2y3+x1y2+y1)
(x1,y1)[(x2,y2)(x3,y3)]=(x1,y1)(x2x3,x2y3+y2)= (x1x2x3 ,x1x2y3+x1y2+y1)
所以满足结合律是半群
2．有幺元e(1,0) ∈G
任意(a,b) ∈G
(a,b)(1,0)=(a,a*0+b)=(a,b)
所以有幺元.
是含幺半群
3.有逆元
对任意(a,b) 存在(1/a ,-b/a)∈G st.(a,b)(1/a,-b/a)=(1,0)=e.
且(1/a ,-b/a)唯一,
所以有逆元
是群