急求一个不定积分的解法请问(x^4+1)/(x^6+1)的原函数怎么求?多谢!

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 09:54:27
急求一个不定积分的解法请问(x^4+1)/(x^6+1)的原函数怎么求?多谢!

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急求一个不定积分的解法
请问(x^4+1)/(x^6+1)的原函数怎么求?多谢!

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先将分母x^6+1分解为3个二次式因子(xx+1)(xx+1-√3x)(xx+1+√3x),然后用待定系数法求出
(x^4+1)/(x^6+1)=A/(xx+1)+B/(xx+1-√3x)+B/(xx+1+√3x)
中的系数A=2/3,B=1/6
∫A/(xx+1)dx=2/3arctg(x)+C
4(xx+1±√3x)=(2x±√3)^2+1,作变量代换t=2x±√3,则
∫B/(xx+1±√3x)dx=1/3∫1/(tt+1)dt=1/3arctg(t)+C=1/3arctg(2x±√3)+C
所以∫(x^4+1)/(x^6+1)dx=[2arctgx+arctg(2x-√3)+arctg(2x+√3)]/3+C
arctg(2x-√3)+arctg(2x+√3)=arctg[x/(1-xx)]
所以∫(x^4+1)/(x^6+1)dx=2/3·arctgx+1/3·arctg[x/(1-xx)]+C

展开得x^10+x^6+x^4+1
再求原函数(x^11)/11+(x^7)/7+(x^5)/5+x+c

1/3 (2 ArcTan[x] + ArcTan[x/(1 - x^2)])+C

最简单的方法：
把原式展开为x^10+x^6+x^4+1
然后分别求x^10，x^4，x^6的原函数
因为X^n的原函数为x^(n+1)/(n+1)
所以答案为x^11)/11+(x^7)/7+(x^5)/5+x
够详细吧！

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