作业帮过抛物线y^2=2px焦点f作弦AB,求三角形AOB的面积的最小值需要证明.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 09:28:59
过抛物线y^2=2px焦点f作弦AB,求三角形AOB的面积的最小值需要证明.
过抛物线y^2=2px焦点f作弦AB,求三角形AOB的面积的最小值
需要证明.
过抛物线y^2=2px焦点f作弦AB,求三角形AOB的面积的最小值需要证明.
A（x1,y1）B(x2,y2) y2
可以用到通径公式
当AB垂直与X轴式面积最小
(1).当AB垂直x轴时，AB：x=p/2
A(p/2, p), B(p/2, -p)
AB=2p
S△AOB=p^2/2
(2).当AB不垂直x轴时，AB：y=k(x-p/2)，k≠0
代入抛物线：k^2(x^2-px+p^2/4)=2px
k^2x^2-(k^2+2)px+k^2p^2/4=0
所以 x1+x2=(k^2+2)p/k^2,...
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(1).当AB垂直x轴时，AB：x=p/2
A(p/2, p), B(p/2, -p)
AB=2p
S△AOB=p^2/2
(2).当AB不垂直x轴时，AB：y=k(x-p/2)，k≠0
代入抛物线：k^2(x^2-px+p^2/4)=2px
k^2x^2-(k^2+2)px+k^2p^2/4=0
所以 x1+x2=(k^2+2)p/k^2, x1*x2=p^2/4
所以 |y1-y2|=√(y1-y2)^2
=√(kx1-kx2)^2
=|k|*√(x1-x2)^2
=|k|*√[(x1+x2)^2-4x1x2]
=|k|*√[(k^2+2)^2p^2/k^4-p^2]
=|2p/k|*√(k^2+1)
所以 S△AOB=|2p/k|*√(k^2+1)*(p/2)*(1/2)
=|p^2/2k|√(k^2+1)
=|p^2/2|√(1+1/k^2)
无最小值。当k趋向无穷大时，S△AOB=p^2/2
综上，△AOB的最小值是p^2/2，此时AB垂直x轴
收起
当AB垂直于x轴时面积最小
其实证明并不麻烦