作业帮高二数学直线与圆的方程已知X^2+Y^2-2X-2Y+1=0,A(2a,0),B(0,2b),且a>1,b>1(1)若圆与直线AB相切时,求线段AB的中点的轨迹方程(2)若圆与直线AB相切,且△AOB面积最小时,求直线AB的方程及△AOB面积的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 13:02:47
高二数学直线与圆的方程已知X^2+Y^2-2X-2Y+1=0,A(2a,0),B(0,2b),且a>1,b>1(1)若圆与直线AB相切时,求线段AB的中点的轨迹方程(2)若圆与直线AB相切,且△AOB面积最小时,求直线AB的方程及△AOB面积的最小值
高二数学直线与圆的方程
已知X^2+Y^2-2X-2Y+1=0,A(2a,0),B(0,2b),且a>1,b>1
(1)若圆与直线AB相切时,求线段AB的中点的轨迹方程
(2)若圆与直线AB相切,且△AOB面积最小时,求直线AB的方程及△AOB面积的最小值
高二数学直线与圆的方程已知X^2+Y^2-2X-2Y+1=0,A(2a,0),B(0,2b),且a>1,b>1(1)若圆与直线AB相切时,求线段AB的中点的轨迹方程(2)若圆与直线AB相切,且△AOB面积最小时,求直线AB的方程及△AOB面积的最小值
设切线方程为 y=kx+c
所以(1,1)距离直线距离=|1-k-c|/根(k^2+1)=1
所以c^2 +2kc-2k-2c=0
因为a>2,b>2,
所以直线和坐标轴都相交于正半轴
所以(a,0)和(0,b)都在直线上
所以ka+c=0,c=b
所以b^2 - 2b^2/a +2b/a -2b=0
所以ba-2b +2 -2a=0
即：(a-2)(b-2)=2
因为中点坐标(a/2,b/2),
所以中点轨迹方程:
4xy-4(x+y)+2=0
4xy-4x-4y+2=0
4x(y-1) -4(y-1)=2 (y-1)(x-1)=1/2
所以Saob=ab/2=2xy
0=4xy-4(x+y)+2 =2
所以 根xy-1 >=根2/2 或者根xy-1
圆方程为：（x-1)^2+(y-1)^2=1,
圆心坐标C（1，1），R=1
AB方程为：x/(2a)+y/(2b)=1,bx+ay-2ab=0,
(1)圆与AB相切时,有圆心C至AB距离=R=1，
即有|b+a-2ab|/根号(b^2+a^2)=1
设线段AB中点P坐标是(x,y)
那么有x=a,y=b
故P的轨迹方程是|y+x-2xy|...
全部展开
圆方程为：（x-1)^2+(y-1)^2=1,
圆心坐标C（1，1），R=1
AB方程为：x/(2a)+y/(2b)=1,bx+ay-2ab=0,
(1)圆与AB相切时,有圆心C至AB距离=R=1，
即有|b+a-2ab|/根号(b^2+a^2)=1
设线段AB中点P坐标是(x,y)
那么有x=a,y=b
故P的轨迹方程是|y+x-2xy|=根号(x^2+y^2), (x,y>1)
(2)
|AB|=2√（a^2+b^2),
S△ABC=|AB|*R/2=√（a^2+b^2),
根据均值不等式，a^2+b^2≥2ab,
∴S△ABC最小为√（2ab),
当2a=2b时，从原点至切点距离为√2+1，2a=√ 2（√2+1）=2+√2，
a=(2+√2）/2，
S△ABC最小为： √2+1。
你要是求S△AOB=（1/2）*（2+√2）*（2+√2）=3+2√2。
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